Question

Точки M і N розміщені по різні боки від прямої AB, і при цьому MA дорівгює NB, кут MAB дорівгює куту NBA. Доведіть, що відрізки MN і AB діляться точкою O перетину навпіл.

Answer 1

Розглянемо трикутник MAB. За допомогою теореми о двох комплементарних кутах можемо зробити висновок, що кут AMB є доповненням до куту MAB. Тепер звернемо увагу на трикутник NBA. Кут NAB також дорівнює куту MAB, тому кут NBA є доповненням до куту NAB. Отже, кут NBA є доповненням до доповнення куту MAB.

Тепер можемо використати теорему о рівносторонньому трикутнику: якщо в трикутнику є такий кут, що є доповненням до доповнення куту, то трикутник рівносторонній.

Тому можемо сказати, що трикутник MAB є рівностороннім, тобто відрізки MA і MB дорівнюють. Тож саме можемо зробити висновок для трикутника NBA: відрізки NA та NB дорівнюють.

Отже, відрізки MA та NB дорівнюють та перетинаються в точці O, тому відрізок MN ділиться точкою O перетин