Question

Основанием прямоугольного параллелепипеда служит квадрат, диагональ параллелепипеда 6 см, а его измерения относятся как 1:1:2.
Найдите: а. измерения параллелепипеда. б. синус угла между диагональю параллелепипеда и плоскостью его основания.

Answer 1

Ответ:

а). измерения параллелепипеда: √6 см, √6 см, 2√6 см;

б). синус угла между диагональю параллелепипеда и плоскостью его основания: √6/3.

Объяснение:

задача:

Основанием прямоугольного параллелепипеда служит квадрат, диагональ параллелепипеда 6 см, а его измерения относятся как 1:1:2.
Найдите: а. измерения параллелепипеда. б. синус угла между диагональю параллелепипеда и плоскостью его основания.

___________________________

дано:

ABCDA₁B₁C₁D₁ - прямоугольный параллелепипед;

АВ, АD, AA₁ - измерения;

AB:AD:AA₁=1:1:2;

A₁C - диагональ параллелепипеда.

найти:

AB - ? (см), AD - ? (см), AA₁ - ? (см), sin(∠A₁CA) - ?

решение:

$\boxed{\boldsymbol{a).}}$

• квадрат диагонали параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений.

по условию измерения относятся как 1:1:2, обозачим коэффициент пропорциональности за х, тогда АВ=х, AD=x, AA₁=2x. составим и решим уравнение согласно вышеуказанному свойству:

х²+х²+(2х)²=6²;

х²+х²+4х²=36;

6х²=36;

х=√6.

вычислим измерения:

АВ=х=√6 см;

AD=x=√6 см;

AA₁=2x=2*√6=2√6 см.

$\boxed{\boldsymbol{b).}}$

• угол между прямой и плоскостью - это угол между прямой и ее проекцией на данную плоскость.

рассмотрим прямоугольный треугольник А₁СА.

• синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего данному углу катета к гипотенузе.

следовательно, $\boldsymbol{\sin(\measuredangle A_1CA)=\dfrac{A_1A}{A_1C}=\dfrac{\not2\sqrt{6} }{\not6} =\dfrac{\sqrt{6} }{3} }.$