Question

СРОЧНО НУЖЕН ОТВЕТ!!​

Answer 1

Ответ:

(см. объяснение)

Объяснение:

Докажем, что $\forall n\in\mathbb{N}$ верно:

$\dfrac{1}{x(x+1)}+...+\dfrac{1}{(x+n-1)(x+n)}=\dfrac{n}{x(x+n)}$

Докажем базу индукции при $n=1$:

$\dfrac{1}{x(x+1)}=\dfrac{1}{x(x+1)}$, верно.

Докажем переход. Пусть равенство верно при $n=k$.

Покажем его верность для $n=k+1$:

$\dfrac{1}{x(x+1)}+...+\dfrac{1}{(x+k-1)(x+k)}+\dfrac{1}{(x+k)(x+k+1)}=\\=\dfrac{k}{x(x+k)}+\dfrac{1}{(x+k)(x+k+1)}=\dfrac{k^2+kx+x+k}{x(x+k)(x+k+1)}=\\=\dfrac{(x+k)(k+1)}{x(x+k)(x+k+1)}=\dfrac{k+1}{x(x+k+1)}$

Значит по принципу математической индукции доказываемое равенство верно.

Заметим, что исходное равенство есть доказанное нами при $n=4$, а значит оно верно.

Обе части тождества определены при:

$x\in(-\infty;\;-4)\cup(-4;\;-3)\cup(-3\;-2)\cup(-2;\;-1)\cup(-1\;0)\cup(0;\;+\infty)$

Задание выполнено!

Комментарий:

Заметим, что тождество не такое большое, поэтому возможно было бы выполнить преобразования вручную.

Однако мы доказали также, что, например:

$\dfrac{1}{x(x+1)}+\dfrac{1}{(x+1)(x+2)}+\dfrac{1}{(x+2)(x+3)}+\dfrac{1}{(x+3)(x+4)}+\\+\dfrac{1}{(x+4)(x+5)}+\dfrac{1}{(x+5)(x+6)}+\dfrac{1}{(x+6)(x+7)}+\dfrac{1}{(x+7)(x+8)}+\\+\dfrac{1}{(x+8)(x+9)}+\dfrac{1}{(x+9)(x+10)}=\dfrac{10}{x(x+10)}$

А это вручную было бы считать уже проблематично.