Question

а) Решите уравнение $log_{3}^{2}(x^{2})-15log_{3}(3x)+24=0$
б) Найдите корни данного уравнения, принадлежащие отрезку [12; 29]

Answer 1

Ответ:

а) 27, $\sqrt[4]{27}$

б) 27 - корень принадлежащий отрезку  [12; 29].

Пошаговое объяснение:

а) Решите уравнение

$\displaystyle \bf log^2_3\;x^2-15\;log_3(3x)+24=0$

б) Найдите корни данного уравнения, принадлежащие отрезку [12; 29]

ОДЗ: x > 0

Свойство логарифмов:

$\boxed {\displaystyle \bf log_a (bc)=log_ab+log_ac}$     $\boxed {\displaystyle \bf log_a (b)^n=nlog_ab}$

$\displaystyle (2log_3\;x)^2-15(\;log_33+log_3x)+24=0\\\\ 4log^2_3\;x-15\cdot1-15\;log_3x+24=0\\\\ 4log^2_3\;x-15\;log_3x+9=0$

Замена переменной:

$\displaystyle log_3x=t$

Получим квадратное уравнение:

$\displaystyle 4t^2-15t+9=0\\\\D=225-144=81;\;\;\;\;\;\sqrt{D}=9\\ \\t_1=\frac{15+9}{8}=3;\;\;\;\;\;t_2=\frac{15-9}{8} =\frac{3}{4}$

Выполним обратную замену:

$\displaystyle 1)\;log_3x=3\\\\x=3^3\\\\x=27$                    $\displaystyle 2)\; log_3x=\frac{3}{4}\\ \\x=3^{\frac{3}{4} }\\\\x=\sqrt[4]{27}$

⇒ 27 - корень принадлежащий отрезку  [12; 29].