Question

обчислити інтеграл:

​

Answer 1

Ответ:

$\displaystyle \bf \int\limits^2_1 {\frac{e^x+x^3}{x^3e^x} } \, dx=\frac{3}{8}-\frac{1}{e^2}+\frac{1}{e}$

Пошаговое объяснение:

Вычислить интеграл:

$\displaystyle \bf \int\limits^2_1 {\frac{e^x+x^3}{x^3e^x} } \, dx$

Упростим подинтегральное выражение:

$\displaystyle \int\limits^2_1 {\frac{e^x+x^3}{x^3e^x} } \, dx=\int\limits^2_1 {\left(\frac{e^x}{x^3e^x}+\frac{x^3}{x^3e^x}\right) } \, dx =\int\limits^2_1 {\left(\frac{1}{x^3}+\frac{1}{e^x}\right) } \, dx=\int\limits^2_1 {(x^{-3}+e^{-x})} \, dx$

Теперь вычислим интеграл:

$\boxed {\displaystyle \bf \int\limits {x^n} \, dx =\frac{x^{n+1}}{n+1} +C}\;\;\;\;\;\boxed {\displaystyle \bf \int\limits {e^{kx+b}} \, dx =\frac{1}{k}\;e^{kx+b} +C}$

$\displaystyle \int\limits^2_1 {(x^{-3}+e^{-x})} \, dx=\left(\frac{x^{-3+1}}{-3+1}+\frac{1}{-1} \cdot e^{-x}\right)\bigg|^2_1=\\ \\\\=\left(\frac{x^{-2}}{-2}-e^{-x}\right)\bigg|^2_1=\left(-\frac{1}{2x^2}-\frac{1}{e^x} \right)\bigg|^2_1$

Формула Ньютона-Лейбница:

$\boxed {\displaystyle \bf \int\limits^b_a {f(x)} \, dx =F(b)-F(a)}$

$\displaystyle \left(-\frac{1}{2x^2}-\frac{1}{e^x} \right)\bigg|^2_1= \left(-\frac{1}{2\cdot2^2}-\frac{1}{e^2} \right)- \left(-\frac{1}{2\cdot1^2}-\frac{1}{e} \right)=\\\\\\=-\frac{1}{8} -\frac{1}{e^2} +\frac{1}{2}+\frac{1}{e}=\frac{3}{8}-\frac{1}{e^2}+\frac{1}{e}$