Question

30 баллов за правельное решение!!!!!!!
Вычислить определенный интеграл с помощью метода интегрирования по частям.
$\int\limits^\frac{1}{2} _0 {\frac{x*arcsin x}{(1-x^{2} )^{2} } } \, dx$

Answer 1

Ответ:

$\dfrac{\pi}{9}-\dfrac{\sqrt{3}}{6}$

Пошаговое объяснение:

Формула интегрирования по частям: $\displaystyle \int\limits^a_b udv=uv|\limits^a_b -\int\limits^a_b vdu$.

Пусть для исходного интеграла $u=\arcsin{x},dv=\dfrac{xdx}{(1-x^2)^2}=-\dfrac{d(1-x^2)}{2(1-x^2)^2}$, тогда $du=\dfrac{dx}{\sqrt{1-x^2}},v=\dfrac{1}{2(1-x^2)}$. Подставляя в формулу, получаем:

$\displaystyle \int\limits^\frac{1}{2}_0 \dfrac{x\arcsin{x}\, dx}{(1-x^2)^2}=\dfrac{\arcsin{x}}{2(1-x^2)}|^\frac{1}{2}_0-\dfrac{1}{2}\int\limits^\frac{1}{2}_0 \dfrac{dx}{(1-x^2)\sqrt{1-x^2}}$.

Отдельно найдём интеграл в правой части. Пусть $x=\sin{t}$, тогда $dx=\cos{t}dt$, пределы интегрирования — от 0 до $\dfrac{\pi}{6}$:

$\displaystyle \int\limits^\frac{\pi}{6}_0 \dfrac{\cos{t}dt}{(1-\sin^2{t})^\frac{3}{2}}=\int\limits^\frac{\pi}{6}_0 \dfrac{\cos{t}dt}{\cos^3{t}}=\int\limits^\frac{\pi}{6}_0 \dfrac{dt}{\cos^2{t}}=tg\left(\dfrac{\pi}{6}\right)-tg\, 0=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$.

Подставляя в правую часть, получаем:

$\displaystyle \int\limits^\frac{1}{2}_0 \dfrac{x\arcsin{x}\, dx}{(1-x^2)^2}=\dfrac{\pi}{6\cdot 2\cdot\dfrac{3}{4}}-\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{3}=\dfrac{\pi}{9}-\dfrac{\sqrt{3}}{6}$