Question

из данных многочленов выпишите симметрические:
-3xy+6x^2-5y^2+8
16x^4*y^2+16x^2*y^4-x^4-y^4

Answer 1

Многочлен $P(x;\ y)$ называется симметрическим, если для него выполняется условие:

$P(x;\ y)=P(y;\ x)$

Другими словами, если в некотором многочлене с двумя переменными первую переменную заменить на вторую, а вторую на первую, и многочлен от этого не изменится, то такой многочлен называется симметрическим.

Рассмотрим многочлен:

$P(x;\ y)=-3xy+6x^2-5y^2+8=(-3xy+8)+\underline{6x^2-5y^2}$

$P(y;\ x)=-3yx+6y^2-5x^2+8=(-3yx+8)+\underline{\underline{6y^2-5x^2}}$

Как видно, $P(x;\ y)\neq P(y;\ x)$, поскольку подчеркнутые суммы не тождественны друг другу.

Рассмотрим второй многочлен:

$P(x;\ y)=16x^4\cdot y^2+16x^2\cdot y^4-x^4-y^4=16x^2y^2(x^2+y^2)-(x^4+y^4)$

$P(y;\ x)=16y^4\cdot x^2+16y^2\cdot x^4-y^4-x^4=16y^2x^2(y^2+x^2)-(y^4+x^4)$

Для данного многочлена $P(x;\ y)= P(y;\ x)$. Значит, он является симметрическим.

Ответ: $16x^4\cdot y^2+16x^2\cdot y^4-x^4-y^4$