Question

Знайти у, застосовуючи логарифмічну похідну,
Может кто-то знает как решить этот пример? Скриншот задания прикрепил ниже жду вашу помощь!

Answer 1

Ответ:

Логарифмическая производная.

$\bf y=\sqrt[3]{\dfrac{(x^2+1)(x-2)^4}{ln^2x}}$  

Прологарифмируем левую и правую части равенства .

$\bf ln\, y=ln\,\sqrt[3]{\dfrac{\bf (x^2+1)(x-2)^4}{\bf ln^2x}}\\\\lny=ln\Big((x^2+1)(x-2)^4\Big)^{\frac{1}{3}}-ln\Big(lnx\Big)^{\frac{2}{3}}\\\\lny=\dfrac{1}{3}\cdot ln\Big((x^2+1)(x-2)^4\Big)-\dfrac{2}{3}\cdot ln(lnx)\\\\lny=\dfrac{1}{3}\cdot ln(x^2+1)+\dfrac{4}{3}ln(x-2)-\dfrac{2}{3}\cdot ln(lnx)\\\\\Big(lny\Big)'=\Big(\dfrac{1}{3}\cdot ln\Big((x^2+1)+\dfrac{4}{3}(x-2)-\dfrac{2}{3}\cdot ln(lnx)\Big)'$  

$\bf \dfrac{y'}{y}=\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{2x}{x^2+1}+\dfrac{4}{3}\cdot \dfrac{1}{x-2} -\dfrac{2}{3}\cdot \dfrac{1}{lnx}\cdot \dfrac{1}{x}\\\\\\y'=y\cdot \Big(\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{2x}{x^2+1}+\dfrac{4}{3}\cdot \dfrac{1}{x-2} -\dfrac{2}{3}\cdot \dfrac{1}{lnx}\cdot \dfrac{1}{x}\Big)\\\\\\y'=\sqrt[3]{\dfrac{\bf (x^2+1)(x-2)^4}{\bf ln^2x}}\cdot \Big(\dfrac{2x}{3(x^2+1)}+\dfrac{4}{3(x-2)} -\dfrac{2}{3x\cdot lnx}\Big)$