Question

..................................

Answer 1

$f(n)=1+2+4+8+16+\ldots+2^n$

Заметим, что слагаемые в правой части выражения представляют собой члены геометрической прогрессии с $b_1=1$ и $q=2$. Определим количество этих членов:

$b_N=b_1q^{N-1}$

$2^n=1\cdot 2^{N-1}$

$2^n=2^{N-1}$

$n=N-1$

$\Rightarrow N=n+1$

Таким образом, в правой части соотношения записано (n+1) членов геометрической прогрессии. Найдем их сумму:

$S_N=\dfrac{b_1(q^N-1)}{q-1}$

$S_{n+1}=\dfrac{1\cdot (2^{n+1}-1)}{2-1} =\dfrac{2^{n+1}-1}{1} =2^{n+1}-1$

Тогда рассматриваемая функция принимает вид:

$f(n)=2^{n+1}-1$

Рассмотрим выражение $f(1)+f(2)+f(3)+\ldots+f(2021)$. Распишем каждое из слагаемых:

$f(1)+f(2)+f(3)+\ldots+f(2021)=$

$=(2^2-1)+(2^3-1)+(2^4-1)+\ldots+(2^{2022}-1)=$

$=(2^2+2^3+2^4+\ldots+2^{2022})-2021$

В скобках образуется еще одна сумма членов геометрической прогрессии. Для этой прогрессии: $b_1=2^2;\ q=2;\ n=2021$. Тогда, сумма этих членов:

$S_{2021}=\dfrac{2^2\cdot(2^{2021}-1)}{2-1} =\dfrac{2^{2023}-2^2}{1} =2^{2023}-2^2$

Подставляем значение найденной суммы:

$f(1)+f(2)+\ldots+f(2021)=2^{2023}-2^2-2021=2^{2023}-2025$

Оценим найденное значение:

$2^{2022}=2^{2023}-2^{2022} < 2^{2023}-2025 < 2^{2023}$

Значит, наибольшая степень 2, меньшая или равная заданному значению, равна $2^{2022}$. Показатель этой степени равен 2022.

Ответ: 2022