Question

4. у трикутнику АВС відомо, що АВ = ВС = 20см, а кут А = 70°
Знайдіть:
1) сторону АС
2) медіану СМ
3) бісектрису АD
4) радіус описаного кола навколо трикутника АВС ​
​

Answer 1

Ответ:

1) Сторона АС равна 13,6 см.

2) Медиана СМ равна 9,6 см.

3) Биссектриса AD равна 13,2 см.

4) Радиус описанной окружности равен 10,64 см.

Объяснение:

4. В треугольнике АВС известно, что АВ = ВС = 20 см, а угол А = 70°.

Найдите:

1) сторону АС

2) медиану СМ

3) биссектриса AD

4) радиус описанной окружности вокруг треугольника АВС

Дано: ΔАВС - равнобедренный;

АВ = ВС = 20 см;

∠А = 70°;

СМ - медиана; АD - биссектриса.

Найти: АС, СМ, AD, R - радиус описанной окружности.

Решение:

• Теорема синусов:
• Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. Отношение стороны к синусу противолежащего угла равно двум радиусам описанной окружности.

• Теорема косинусов:
• Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Определимся с углами.

Углы при основании равнобедренного треугольника равны:

∠А = ∠С = 70°.

Сумма углов треугольника равна 180°.

⇒ ∠В = 180° - (70° + 70°) = 40°

∠BAD = ∠DAC = 70° : 2 = 35° (АD - биссектриса)

1. Найдем АС:

sin70° ≈ 0,94;  sin40° ≈ 0,64.

По теореме синусов:

$\displaystyle \frac{AB}{sin70^0}=\frac{AC}{sin40^0} \\ \\\frac{20}{0,94}=\frac{AC}{0,64} \;\;\;\to\;\;\;AC=\frac{20\cdot 0,64}{0,94}\approx 13,6\;_{(CM)}$

Сторона АС равна 13,6 см.

2. Найдем СМ.

ΔАМС: АМ = 10 см (СМ - медиана); АС = 13,6 см; ∠А = 70°.

cos70° ≈ 0,34

По теореме косинусов:

$\displaystyle MC^2=AM^2+AC^2-2\cdot AM\cdot AC\cdot cos70^0\\\\MC^2=10^2+13,6^2-2\cdot 10\cdot13,6\cdot0,34=92,48\\\\MC\approx 9,6\;_{(CM)}$

Медиана СМ равна 9,6 см.

3. Найдем биссектрису BD.

ΔADC: AC = 13,6 см; ∠ADC = 180° - (70° + 35°) = 75°; ∠C = 70°.

sin75° ≈ 0,97

По теореме синусов:

$\displaystyle \frac{AC}{sin75^0}=\frac{AD}{sin70^0} \\\\\frac{13,6}{0,97}=\frac{AD}{0,94}\;\;\;\to\;\;\;AD=\frac{13,6\cdot 0,94}{0,97} \approx 13,2\;_{(CM)}$

Биссектриса AD равна 13,2 см.

4. Радиус описанной окружности найдем по теореме синусов:

$\displaystyle \frac{AB}{sin70^0}=\frac{20}{0,94}= 2R \approx 21,28\\ \\ R\approx10,64 \; _{CM}$

Радиус описанной окружности равен 10,64 см.

SPJ1