Question

.Представьте в показательной форме числа z1 = 1 + i и z2 = 1 - i√3, найдите z1z2.

Answer 1

Модуль комплексного числа $z_1:$ $|z_1|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$. Тогда комплексное число представим в виде:

$z_1=\sqrt{2}\cdot \left(\frac{1}{\sqrt{2}}+i\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}\right)$

Так как x > 0; y > 0, то угол $\varphi=\frac{\pi}{4}$. В показательной форме: $z_1=\sqrt{2}e^\big{i\frac{\pi}{4}}$.

Аналогично, $|z_2|=\sqrt{1+(-\sqrt{3})^2}=2$. Тогда $z_1=2\cdot \left(\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)$

Так как x > 0; y < 0, то угол $\varphi =\frac{5\pi}{3}$. В показательной форме: $z_2=2e^\big{i\frac{5\pi}{3}}$

Найдем произведение двух комплексных чисел

$z_1z_2=\sqrt{2}e^\big{i\frac{\pi}{4}}\cdot 2e^\big{i\frac{5\pi}{3}}=2\sqrt{2}e^\big{i\cdot \left(\frac{\pi}{4}+\frac{5\pi}{3}\right)}=2\sqrt{2}e^\big{i\frac{23\pi}{12}}$