Question

Допоможіть прошу дуже потрібно! Для заданих чисел z1 та z2 виконати вказані дії:
a) Знайти значення z3;
б) Числа z1 та z2 записати в показниковій та тригонометричній формах;
в) Для числа z1 знайти всі корені степеня m;
г) число z2 піднести до степеня k;

Answer 1

a) Знайти значення z₃

$z_3 = \dfrac{(z_1z_2 - 4i)^2}{3i(2\overline{z}_1-5z_2)}$

Первым делом вспомним ,  что для  $z_1$  число  $\overline{z}_1$  является комплексно-сопряженным числом

Поэтому :

$\overline{z}_1 = 1-(-i) = 1 + i$

Теперь находим z₃ ,  подставив

$z_1 = 1-i ~ , ~ z_2 = 2+ 2i ~ , ~~ \overline{z}_1 = 1+i$

$\displaystyle \frac{(z_1z_2 - 4i)^2}{3i(2\overline{z}_1-5z_2)} =\frac{\big((1-i)(2+2i)-4i\big)^2}{3i\big(2\cdot (1+i) -5(2+2i) \big)} = \frac{(2- 2i + 2i-2i^2 - 4i)^2}{3i(2+ 2i - 10 - 10 i)} = \\\\\\ =\frac{(4 -4i)^2}{3i (-8 -8i)} =\frac{4^2\cdot (1-i)^2}{-24i +24 } =\frac{16(i-1)^2}{-24(i-1)} =-\frac{16(i-1)}{24 } =\frac{2-2i}{3}$

б) Числа z₁ та z₂ записати в показниковій та тригонометричній формах

*Находим тригонометрическую форму для z₁ = 1 - i :

$\displaystyle r = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \\\\ z_1 =1-i =\sqrt{2} \bigg ( \frac{\sqrt{2} }{2} - \frac{\sqrt{2} }{2} i \bigg ) = \sqrt{2} \bigg ( \cos \frac{7\pi }{4} + i\sin \frac{7\pi }{4} \bigg )$

Находим показательную форму :

$z_1 = r \cdot e^{i \varphi }= \sqrt{2} \cdot e ^{ \tfrac{7\pi }{4} i }$

**Находим тригонометрическую форму для  z₂ = 2 + 2i :

$r = \sqrt{2^2 + 2^2} = 2\sqrt{2} \\\\ \displaystyle z_2 = 2 + 2i = 2\sqrt{2 }\bigg ( \frac{\sqrt{2} }{2} + \frac{\sqrt{2} }{2} i\bigg) = 2\sqrt{2}\bigg ( \cos \frac{\pi }{4} +i \sin \frac{\pi }{4} \bigg )$

Находим показательную форму :

$z_2= 2\sqrt{2}\cdot e^{\tfrac{\pi }{4}i }$

в) Для числа z₁ знайти всі корені степеня m

Смотрим на тригонометрический вид числа  

$\displaystyle r = \sqrt{2} \\\\ z_1 = \sqrt{2} \bigg ( \cos \frac{7\pi }{4} + i\sin \frac{7\pi }{4} \bigg )$

Теперь воспользуемся формулой:

$\sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{r} \Big(\cos \ (\tfrac{\phi + 2\pi k}{n} ) + i \cdot \sin (\frac{\phi +2\pi k}{n}) \Big)$

где  k  = 0 , 1 , 2 , ... , n -1

В нашем случае r = √2   , n = 3 ,   $\phi =\frac{7}{8}\pi$   ,  число корней равно 3-м

$\sqrt[3]{z_1} = \sqrt[3]{\sqrt{2} } \bigg(\cos \left (\dfrac{\frac{7}{4}\pi + 2\pi k}{3} \right) + i \cdot \sin\left (\dfrac{\frac{7}{4}\pi +2\pi k}{3}\right) \bigg)$

Первый корень :

Подставляем   k = 0

$u_1 = \sqrt[3]{z_1} = \sqrt[6]{2 } \bigg(\cos \left (\dfrac{\frac{7}{4}\pi + 2\pi \cdot 0}{3} \right) + i \cdot \sin\left (\dfrac{\frac{7}{4}\pi +2\pi \cdot 0}{3}\right) \bigg)=\\\\\\=\sqrt[6]{2}\bigg( \cos \dfrac{7}{12}\pi + i \cdot \sin \dfrac{7}{12}\pi \bigg )$

Второй корень :

Подставляем   k = 1

$u_2 = \sqrt[3]{z_1} = \sqrt[6]{2 } \bigg(\cos \left (\dfrac{\frac{7}{4}\pi + 2\pi }{3} \right) + i \cdot \sin\left (\dfrac{\frac{7}{4}\pi +2\pi }{3}\right) \bigg)=\\\\\\=\sqrt[6]{2}\bigg( \cos \dfrac{15}{12}\pi + i \cdot \sin \dfrac{15}{12}\pi \bigg )$

Третий корень :

Подставляем k = 2

$u_3 = \sqrt[3]{z_1} = \sqrt[6]{2 } \bigg(\cos \left (\dfrac{\frac{7}{4}\pi + 4\pi }{3} \right) + i \cdot \sin\left (\dfrac{\frac{7}{4}\pi +4\pi }{3}\right) \bigg)=\\\\\\=\sqrt[6]{2}\bigg( \cos \dfrac{23}{12}\pi + i \cdot \sin \dfrac{23}{12}\pi \bigg )$

г) Число z₂  піднести до степеня k

Воспользуемся формулой Муавра :

$z^n = \big ( r(\cos \varphi + i\sin \varphi ) \big )^n = r^n (\cos n \varphi + i \sin n \varphi )~ , ~ n \in \mathbb N$

Вычисляем  $z_2 ^4$  смотря на тригонометрическую форму

$z_2 =2\sqrt{2}\bigg ( \cos \frac{\pi }{4} + i\sin \frac{\pi }{4} \bigg )$

Подставив значения мы получим :

$z_2^4 = (2\sqrt{2})^4 \cdot \bigg(\cos \big(4\cdot \frac{\pi }{4}\big ) +i \cdot \sin \big (4\cdot \frac{\pi }{4} \big) \bigg) = 64 (\cos \pi +i \sin \pi ) =\\\\=64\cdot (-1 +0 ) = -64$

#SPJ1