Question

5 sin²x-11sin x cos x + 6 cos²x = 0 ​

Answer 1

Однородное тригонометрическое уравнение которое нужно разделить на cos²x≠0:

$\displaystyle \boldsymbol{5 \sin^{2} x - 11 \sin x \:*\: \cos x + 6 \cos^2x = 0 \: /: \cos {}^{2} x \ne0 }$

$\displaystyle \boldsymbol{ \frac{5\sin^{2}x}{ \cos ^{2}} - \frac{11 \sin x\:*\:\cos x}{ \cos ^{2} x }+ \frac{6\cos^2x}{ \cos {}^{2} x } = 0}$

$\displaystyle \boldsymbol{5 \tan {}^{2} x - 11 \tan x + 6 = 0}$

Заменим tgx на k.

$\displaystyle \boldsymbol{5 k {}^{2} - 11 k + 6 = 0}$

$\displaystyle \boldsymbol{ D = {b}^{2} - 4ac = 121 - 4\:*\:5\:*\:6 = 1}$

$\displaystyle \boldsymbol{t_1 = \frac{11 - \sqrt{1} }{2\:*\:5} = 1}$

$\displaystyle \boldsymbol{t_2 = \frac{11 + 1}{10} = \frac{6}{5} }$

Обратно вернемся к старой переменной:

$\displaystyle\boldsymbol{ \left [ \begin{array}{ccc} \tan x=1 \\\\ \tan x = \frac{6}{5} \end{array}\right \left [ \begin{array}{ccc} x = \frac{\pi}{4}+\pi k,k \in Z\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: \:\:\:\:\:\:\\\\ x=arctg\bigg(\frac{6}{5}\bigg) +\pi n, n \in Z\end{array}\right}$

Ответ: х₁=π/4 + kn, k ∈ Z, x₂=arctg(6/5)+πn, n ∈ Z.