Question

Решите, пожалуйста, уравнение: $3x^3-9x-10=0.$ Поясните ход мыслей. Целесообразно ли здесь применять громоздкую формулу Кардано?

Answer 1

Ответ:

$x=\sqrt[3]{3}+\dfrac{1}{\sqrt[3]{3}}.$

Объяснение:

Уравнение $3x^3-9x-10=0.$ Целых корней нет, так как при любом целом x остаток от деления левой части на 3 не равен нулю. Чтобы доказать, что и рациональных корней нет, домножим уравнение на 9 и сделаем замену 3x=p:           $p^3-27p-90=0.$  Поскольку старший коэффициент равен 1, все рациональные корни являются целыми, а целый корень должен делиться на 3 (если $p^3=27p+90,$ то $p^3$ делится на 3, а тогда и p должен делиться на 3). Но тогда x=p/3 является целым корнем, а мы доказали, что таких нет.  Похоже, придется воспользоваться формулой Кардано, но перед этим посмотрим, сколько корней имеет наше уравнение. Рассмотрим функцию

$f(x)=3x^3-9x-10;\ f'(x)=9x^2-9=0;\ x=\pm 1;\ f(-1) < 0;\ f(1) < 0.$

Функция возрастает слева от -1 и справа от 1, убывает между -1 и 1. Поскольку на бесконечности функция стремится к бесконечности, делаем вывод, что корень единственный (если не думать про стремление к бесконечности (и заодно не думать про непрерывность функции), всё равно можно утверждать, что решений не больше чем одно. Найдем его).

Замена $x=t+\dfrac{1}{t};$  после приведения подобных членов получаем уравнение           $3t^3+\dfrac{3}{t^3}-10=0;$ это уравнение после избавления от знаменателя превращается в квадратное относительно $q=t^3,$  поэтому не может иметь больше двух решений. Решать с помощью дискриминанта лень, но это и не нужно, поскольку решения легко угадываются, если уравнение записать в виде

                                       $q+\dfrac{1}{q}=3+\dfrac{1}{3}.$

Вот эти решения: q=3 и $q=\dfrac{1}{3}.$ Достаточно взять q=3 (второй корень даст тот же ответ); $t=\sqrt[3]{3};\ x=\sqrt[3]{3}+\dfrac{1}{\sqrt[3]{3}}.$