1.Розкладіть многочлен на множники:
1) – 49 + 4х2; 2) 5t2 – 5c2
2.Спростіть вираз:
1) \ (–5x+6b)(6b+5x) + 60xb;
2)(x–4)(x2 +4x+16)–x(x–2)(x+2).
3.. Розв’яжіть рівняння:
1) 8a3 – 98a= 0, 2) 4х4-64 х2= 0
4.Розкладіть на множники тричлен: 1) a2 – 10a – 11, 2) a2 +7a – 8.
Ответы
1.
1) – 49 + 4х2 = (-49 + 4x²) = (-49) + (4x²) = -49 + 4(x²).
2) 5t2 – 5c2 = 5(t²) – 5(c²) = 5(t² - c²).
У усіх двох випадках многочлен розкладено на множники. Виконавче розкладення.
2.
1) (–5x+6b)(6b+5x) + 60xb = (-5x + 6b)(6b + 5x) + (60x)(b) = -5x(6b + 5x) + 6b(6b + 5x) + 60x(b) = (-5x)(6b + 5x) + (6b)(6b + 5x) + (60x)(b) = -30x²b + 30x² + 36b²x - 36b² + 60x²b - 60x² = -6x²b + 36b²x + 30x²b - 60x² = 24b²x + 24x²b - 24x² = 24b(bx + xb) - 24x² = 24b(bx - x²).
2) (x–4)(x2 +4x+16)–x(x–2)(x+2) = (x - 4)(x² + 4x + 16) - x(x - 2)(x + 2) = (x - 4)(x² + 4x + 16) - x(x² - 4) = (x - 4)(x² + 4x + 16) - (x² - 4)(x) = (x² - 4x + 4)(x² + 4x + 16) - (x³ - 4x) = (x² - 4x + 4)(x² + 4x + 16) - (x³ - 4x) = x²(x² + 4x + 16) - 4x(x² + 4x + 16) + 4(x² + 4x + 16) - x³ + 4x = x²(x² + 4x + 16) - 4x(x² + 4x + 16) + 4(x² + 4x + 16) - x³ + 4x = x²(x² + 4x + 16) - 4x(x² + 4x + 16) + 4(x² + 4x + 16) - x³ + 4x = (x² - 4x + 4)(x² + 4x + 16) = x²(x² + 4x + 16) - 4x(x² + 4x + 16) + 4(x² + 4x + 16) = (x² - 4x + 4)(x² + 4x + 16)
3.
1) 8a3 - 98a = 0
Можемо поділити всі члени рівняння на 8a, тоді:
a3 - 12.25a + 0 = 0
Далі можемо використати розклад рівняння на множники:
(a - 0)(a² + 0a + 0) = 0
Оскільки рівняння має вигляд (a - 0)(a² + 0a + 0) = 0, то рішенням рівняння є аргументи a, які роблять другий множник рівним нулю. Таким чином, рівняння має два рішення: a = 0.
2) 4x4 - 64x2 = 0
Можемо поділити всі члени рівняння на 4x², тоді:
x² - 16x + 0 = 0
Далі можемо використати розклад рівняння на множники:
(x - 0)(x + 0) = 0
Оскільки рівняння має вигляд (x - 0)(x + 0) = 0, то рішенням рівняння є аргументи x, які роблять другий множник рівним нулю. Таким чином, рівняння має два рішення: x = 0.
4.
1) Тричлен a2 – 10a – 11 може бути розкладен на множники у вигляді (a - r1)(a - r2), де r1 та r2 - розв'язки рівняння a² - (r1 + r2)a + r1 * r2 = 0.
Можемо записати тричлен a2 – 10a – 11 у вигляді (a - r1)(a - r2) та знайти розв'язки r1 та r2.
(a - r1)(a - r2) = a² - (r1 + r2)a + r1 * r2
a² - 10a - 11 = a² - (r1 + r2)a + r1 * r2
0 = (r1 + r2)a - r1 * r2 - 11
11 = (r1 + r2)a - r1 * r2
Розв'яжемо систему рівнянь:
r1 + r2 = 10
r1 * r2 = 11
r1 + r2 = 10
r2 = 11/r1
r1 + 11/r1 = 10
r1² + 11 = 10r1
r1² - 10r1 + 11 = 0
За допомогою рівняння дискримінанту можемо визначити, що розв'язки рівняння r1² - 10r1 + 11 = 0 є: r1 = 3 та r2 = -4.
Тоді тричлен a2 – 10a – 11 може бути розкладен на множники у вигляді:
a2 – 10a – 11 = (a - 3)(a + 4)
2) Тричлен a² + 7a - 8 може бути розкладен на множники у вигляді (a - r1)(a - r2), де r1 та r2 - розв'язки рівняння a² - (r1 + r2)a + r1 * r2 = 0.
Можемо записати тричлен a² + 7a - 8 у вигляді (a - r1)(a - r2) та знайти розв'язки r1 та r2.
(a - r1)(a - r2) = a² - (r1 + r2)a + r1 * r2
a² + 7a - 8 = a² - (r1 + r2)a + r1 * r2
8 = (r1 + r2)a - r1 * r2
r1 * r2 = (r1 + r2)a - 8
Розв'яжемо систему рівнянь:
r1 + r2 = 7
r1 * r2 = 8
r1 + r2 = 7
r2 = 8/r1
r1 + 8/r1 = 7
r1² + 8 = 7r1
r1² - 7r1 + 8 = 0
За допомогою рівняння дискримінанту можемо визначити, що розв'язки рівняння r1² - 7r1 + 8 = 0 є: r1 = 2 та r2 = -4.
Тоді a² + 7a - 8 = (a - 2)(a + 4).