Предмет перебуває на відстані 80 см від збиральної лінзи. За допомогою лінзи отримали дійсне обернене зображення предмета, збільшени у 3 рази. Визначити оптичну силу лінзи
Ответы
Ответ:
1.
\begin{gathered}x_{1} =\sqrt{2} \\x_{2} =-\sqrt{2}\\x_{1}+x_{2} =0\end{gathered}
x
1
=
2
x
2
=−
2
x
1
+x
2
=0
2.
\begin{gathered}y_{1} =\frac{\sqrt{3} }{3} \\y_{2} =-\frac{\sqrt{3} }{3}\\y_{1} +y_{2} =0\end{gathered}
y
1
=
3
3
y
2
=−
3
3
y
1
+y
2
=0
Объяснение:
У нас даны биквадратные уравнения:
x^{4} +3x^{2} -10=0x
4
+3x
2
−10=0
12y^{4} -y^{2} -1=012y
4
−y
2
−1=0
Но как же нам их решать. Для этого рассмотрим формулу биквадратного уравнения и распишем это уравнения на пример формулы.
Формула биквадратного уравнения:
\begin{gathered}ax^{4} +bx^{2} +c=0\\a\neq 0\end{gathered}
ax
4
+bx
2
+c=0
a
=0
a- первый коэффициент
b- второй коэффициент
c- свободный член
1. Для начала введем замену чтобы нам легче было решать уравнение:
\begin{gathered}t=x^{2}\\t\geq0\end{gathered}
t=x
2
t≥0
Почему t ≥ 0 ? Потому, что число в квадрате всегда будет больше или равно нулю, а t мы как раз приравниваем к числу в квадрате х².
↓
at^{2} +bt+c=0at
2
+bt+c=0
↓
Мы свели наше уравнения до вида квадратного.
2. Как же решать квадратное уравнение ? Рассмотрим формулу квадратного уравнения и на примере формулы решим его.
Формула квадратного уравнения:
ax^{2} +bx+c=0ax
2
+bx+c=0
a- первый коэффициент
b- второй коэффициент
c- свободный член
Чтобы найти корни квадратно уравнения нам для начало надо найти
дискриминант. Но как найти дискриминант ? Для этого есть отдельная формула.
Формула дискриминанта:
D=b^{2} -4acD=b
2
−4ac
! Важное примечание:
D<0 - Уравнение не имеет корней.
D=0 - Уравнение имеет только один корень.
D>0 - Уравнение имеет два корня.
Зная дискриминант как найти корни уравнения. Для этого тоже есть свои формулы.
Формулы для нахождения квадратного уравнения:
\begin{gathered}x_{1} =\frac{-b+\sqrt{D} }{2a} \\\\x_{2}=\frac{-b-\sqrt{D} }{2a}\end{gathered}
x
1
=
2a
−b+
D
x
2
=
2a
−b−
D
3. Рассмотрев как решается квадратное уравнение, вернёмся к биквадратному. Закончили мы на:
at^{2} +bt+c=0at
2
+bt+c=0
За формулами находим корни этого квадратного уравнения:
В зависимости от уравнения и условий выше перечисленных у нас выйдет один или два корня уравнения (t). Если в этом квадратном уравнении не будет корней соответственно и биквадратное уравнение не будет иметь корней. Рассмотрим если два корня квадратно уравнения соответствуют условию t ≥ 0.
↓
Тогда у нас выйдет два последних уравнения:
\begin{gathered}t_{1} =x ^{2} \\t_{2} =x^{2}\end{gathered}
t
1
=x
2
t
2
=x
2
Подставив значения t в эти уравнения мы найдем корни биквадратного уравнения.
Перейдем к решению:
1. x^{4} +3x^{2} -10=0x
4
+3x
2
−10=0
Вводим замену: t=x^{2}t=x
2
t\geq 0t≥0
t^{2} +3t-10=0t
2
+3t−10=0
\begin{gathered}D=3^{2} -4*1*(-10)=9+40=49\\\\t_{1} =\frac{-3+\sqrt{49} }{2} =2\\\\t_{2}=\frac{-3-\sqrt{49} }{2}= -5\end{gathered}
D=3
2
−4∗1∗(−10)=9+40=49
t
1
=
2
−3+
49
=2
t
2
=
2
−3−
49
=−5
-5 не подходит по условию задачи.
↓
2=х²
\begin{gathered}x_{1} =\sqrt{2} \\x_{2} =-\sqrt{2}\end{gathered}
x
1
=
2
x
2
=−
2
x_{1} +x_{2} =\sqrt{2} +(-\sqrt{2}) =0x
1
+x
2
=
2
+(−
2
)=0
2. 12y^{4} -y^{2} -1=012y
4
−y
2
−1=0
Вводим замену: t=y^{2}t=y
2
t\geq 0t≥0
12t^{2}-t-1=012t
2
−t−1=0
\begin{gathered}D=1^{2} -4*1*(-12)=49\\\\t_{1} =\frac{1+\sqrt{49} }{2*12} =\frac{1}{3} \\\\t_{2} =\frac{1-\sqrt{49} }{2*12} =-\frac{1}{4}\end{gathered}
D=1
2
−4∗1∗(−12)=49
t
1
=
2∗12
1+
49
=
3
1
t
2
=
2∗12
1−
49
=−
4
1
- 1/4 не подходит по условию задачи.
↓
\begin{gathered}\frac{1}{3}=y^{2}\\\\y_{1} =-\frac{\sqrt{3} }{3} \\\\y_{2}= \frac{\sqrt{3} }{3}\end{gathered}
3
1
=y
2
y
1
=−
3
3
y
2
=
3
3
y_{1} +y_{2} =-\frac{\sqrt{3} }{3} +\frac{\sqrt{3} }{3}=0y
1
+y
2
=−
3
3
+
3
3
=0