Question

Помогите найти частное решение дифференциального уравнения y’’-9y=0, y(0)=-4, y’(0)=8

Answer 1

$y''-9y=0$

Составим и решим характеристическое уравнение:

$\lambda^2-9=0$

$(\lambda-3)(\lambda+3)=0$

$\lambda_1=3;\ \lambda_2=-3$

Тогда, общее решение уравнения запишется в виде:

$y=C_1e^{3x}+C_2e^{-3x}$

Для нахождения частного решения потребуется производная найденного общего решения:

$y'=3C_1e^{3x}-3C_2e^{-3x}$

Рассмотрим начальные условия:

$y(0)=-4;\ y'(0)=8$

Используя их, составим систему:

$\begin{cases} -4=C_1e^{3\cdot0}+C_2e^{-3\cdot0} \\ 8=3C_1e^{3\cdot0}-3C_2e^{-3\cdot0} \end{cases}$

$\begin{cases} C_1\cdot1+C_2\cdot1 =-4\\ 3C_1\cdot1-3C_2\cdot1=8 \end{cases}$

$\begin{cases} C_1+C_2=-4\\ 3C_1-3C_2=8 \end{cases}$

Умножим первое уравнение на 3:

$\begin{cases} 3C_1+3C_2=-12\\ 3C_1-3C_2=8 \end{cases}$

Сложим уравнения системы:

$6C_1=-4\Rightarrow C_1=-\dfrac{2}{3}$

Теперь из первого уравнения системы вычтем второе:

$6C_2=-20\Rightarrow C_2=-\dfrac{10}{3}$

Таким образом, частное решение уравнения:

$\boxed{y=-\dfrac{2}{3} e^{3x}-\dfrac{10}{3} e^{-3x}}$