Question

1.Вождь племени юмба поручил своему министру разработать двоичный код и перевести в него всю важную информацию. Какой разрядности потребуется двоичный код,если алфавит, используемый племенем юмба содержит 130 символов?
2. световое табло состоит из лампочек,каждая из которых может находиться в двух состояниях "включено" и "выключено". какое наименьшее количество лампочек должно находиться на табло,чтобы с его помощью можно было передать 40 различных сигналов?
3.для передачи конкретного секретного сообщения на английском использовался равномерный двоичный код:каждый символ исходного сообщения кодировался двоичной цепочкой одной и той же минимальной длины.
какова длина переданного двоичного кода,если исходное сообщение состояло из 42 символов?

Answer 1

1. Код двоичный, значит максимальное количество символов (N), которое можно закодировать вычисляется как  2 в степени, равной длине (разрядности) кода в битах (i).  Вот эта формула:  $\rm N=2^i$

Нам нужно выбрать такое целое i, при котором уже можно закодировать все наши 130 символов.

Другими словами, выбираем по таблице степеней двойки первое число, которое больше или равно 130.

Вот начало этой таблицы:

$\rm i\ \ \ \ 2^i$

1    2   -начинаем смотреть отсюда (2 нам не хватит, надо минимум 130)

2   4

3   8

4   16

5   32

6   64

7   128   -тут 128, это всё ещё меньше, чем наши 130 символов

8   256   -а тут 256, уже влезут наши 130 символов (выбираем i = 8 бит)

9   512   -дальше уже не смотрим (обычно нужна минимальная длина кода)

Получили, что требуется разрядность кода 8 бит.

Ответ: 8 бит

Кстати, это можно вычислить и напрямую, используя логарифмы: двоичный логарифм от 130, и при дробном результате берём ближайшее большее целое (такое "округление всегда вверх" обозначается специальными скобками вокруг выражения):

$\rm i=\lceil \log _{2}130 \rceil=\lceil 7{,}022... \rceil=8$

Либо, двоичный логарифм можно заменить отношением двух других логарифмов (десятичных или натуральных):

$\displaystyle \rm i=\lceil \ \frac{\lg 130}{\lg 2} \ \rceil=\lceil \ \frac{\ln 130}{\ln 2} \ \rceil=\lceil 7{,}022... \rceil=8$

Но, вы возможно ещё не проходили логарифмы, поэтому пользуйтесь таблицей степеней.

2. Опять же, два возможных состояния для одного элемента (лампочки) указывает, что это по сути двоичный код ($2^1=2$).

Поэтому, точно так же, ищем по таблице степеней двойки ближайшую степень, которая вместит все наши 40 сигналов.

Это будет число 64, которое получается при i = 6 бит (в нашем случае, в роли двоичных разрядов (битов) выступают лампочки).

Ответ: 6 лампочек

3. Дано:

N = 26 символов (столько букв в английском алфавите)

K = 42 символа (в нашем сообщении)

Найти:

I (количество информации в сообщении, бит)

Решение:

По таблице степеней двойки, выбираем для нашего количества символов в алфавите (N) минимальную длину кода (i).

Получаем i = 5 бит (это количество информации в одном символе).

Затем считаем по формуле:

I = K * i = 42 * 5 = 210 бит

Это и есть длина переданного двоичного кода для всего сообщения (другими словами - количество информации в сообщении).

Ответ: 210 бит