Question

Электрическая цепь состоит из пяти элементов​

Answer 1

Для последовательно соединенных участков цепи проще определить вероятность работы этого фрагмента: фрагмент работает, когда работает каждый из участков, отсюда вероятность работы этого фрагмента равна произведению вероятностей работы участков.

Для параллельно соединенных участков цепи проще определить вероятность отказа этого фрагмента: фрагмент отказывает, когда отказывает каждый из участков, тогда вероятность отказа этого фрагмента равна произведению вероятностей отказа участков.

Обозначим:

$R_{i}$ - вероятность работы участка, состоящего из элементов, перечисленных в индексе

$X_{i}$ - вероятность отказа участка, состоящего из элементов, перечисленных в индексе

Так как некоторый участок в некоторый момент времени может или работать или отказать, то события работы и отказа для одного и того же участка противоположные. Тогда:

$R_i+X_i=1$

Пронумеруем все элементы как показано на картинке.

По условию известны отказы каждого элемента:

$X_1=X_2=X_3=X_4=X_5=p=0.1$

По условию, нужно найти вероятность отказа всей цепи. Выразим ее через вероятность работы:

$X_{12345}=1-R_{12345}$

Работа всей цепи означает работу элемента 1 и работу участка 2345:

$R_{12345}=R_1R_{2345}$

Работу участка 2345 выразим через отказ:

$R_{2345}=1-X_{2345}$

Отказ участка 2345 означает отказ участка 23 и отказ участка 45:

$X_{2345}=X_{23}X_{45}$

Каждый из полученных отказов выразим через соответствующую работу:

$X_{23}=1-R_{23}$

$X_{45}=1-R_{45}$

Работа участка 23 означает работу элемента 2 и работу элемента 3:

$R_{23}=R_2R_3$

По аналогии:

$R_{45}=R_4R_5$

Заметим, что все преобразования свелись к нахождению величин $R_1,\ R_2,\ R_3,\ R_4,\ R_5$. Учитывая, что соответствующие отказы известны и равны, запишем:

$R_1=R_2=R_3=R_4=R_5=1-p$

Можно получить ответ в общем виде, но, видимо, лучше проводить расчеты по ходу. Проходя по формулам в обратном направлении, получим:

$R_1=R_2=R_3=R_4=R_5=1-p=1-0.1=0.9$

$R_{23}=R_2R_3=0.9^2=0.81$

$R_{45}=R_4R_5=0.9^2=0.81$

$X_{23}=1-R_{23}=1-0.81=0.19$

$X_{45}=1-R_{45}=1-0.81=0.19$

$X_{2345}=X_{23}X_{45}=0.19^2=0.0361$

$R_{2345}=1-X_{2345}=1-0.0361=0.9639$

$R_{12345}=R_1R_{2345}=0.9\cdot0.9639=0.86751$

$X_{12345}=1-R_{12345}=1-0.86751=0.13249$

Ответ: 0.13249