Question

В ОСНОВІ ПІРАМІДИ ЛЕЖИТЬ МНОГОКУТНИК ЗОБРАЖЕНИЙ НА МАЛЮНКУ СІЧНА ПЛОЩИНА ДІЛИТЬ КОЖНЕ БІЧНЕ РЕБРО ПІРАМІДИ У ВІДНОШЕННІ 2:1 ЗНАЙДІТЬ ПЛОЩУ ПЕРЕРІЗУ

Answer 1

Відповідь:

Площа перерізу дорівнює $\boldsymbol{4\sqrt{3} }$  квадратних одиниць

Примітка:

Нехай AC ∩ BD = O

Пояснення:

Дано: FABCD - піраміда, $\displaystyle \frac{FA_{1}}{A_{1}A} = \frac{FB_{1}}{B_{1}B} = \frac{FC_{1}}{C_{1}C} = \frac{FD_{1}}{D_{1}D} = \frac{2}{1}$, ∠COD = 120°,

OA = OC = OD = OB, BA ⊥ DA, ∠CAD = ∠BCA, BC = 3

Знайти: $S_{p} \ - \ ?$

Розв'язання:

Розглянемо чотирикутник ABCD.

Так як за умовою BA ⊥ DA, то кут ∠BAD = 90°.

Трикутник ΔBOC = ΔAOD за першою ознакою рівності трикутників так як кут ∠BOC = ∠AOD як вертикальні кути, а OA = OC = OD = OB - за умовою, отже за властвістю рівних трикутників їх відповідні елементи рівні, тоді BC = AD.

За теоремою якщо різносторонні кути, утворені при перетині двох прямих січною, рівні, то прямі паралельні, тоді так як за умовою кут ∠CAD = ∠BCA і дані кути за означенням є різносторонніми

(AC - січна), то BC║AD.

За теремою-ознакою якщо у чотирикутнику дві протилежні сторони рівні та паралельні, то цей чотирикутник паралелограм, отже

ABCD - паралелограм, так як BC = AD і BC║AD.

За теремою-ознакою якщо у паралелограма хоч один кут прямий, то цей паралелограм - прямокутник, отже так як ABCD - паралелограм і  кут ∠BAD = 90°, то ABCD - прямокутник.

За властивостями прямокутника (ABCD) усі його кути дорівнють 90°, отже кут ∠BCD = 90°.

Трикутник ΔCOD - рівнобедрений за означенням, так як OC = OD за умовою, тоді за властивістю рівнобедреного трикутника кути, що прилеглі до рівних сторін є рівними, тоді кут ∠OCD = ∠ODC.

За теоремою про суму кутів трикутника (трикутник ΔCOD):

∠OCD + ∠ODC + ∠COD = 180° ⇒ ∠OCD = ∠ODC = 0,5(180° - ∠COD) =

= 0,5(180° - 120°) = 0,5 · 60° = 30°.

Так як кут ∠BCD = 90°, то трикутник ΔBDC - прямокутний за означенням.

За означенням котангенса у прямокутному трикутнику (ΔBDC):

$\text{ctg} \ \angle BDC = \dfrac{CD}{BC} \Longrightarrow \ \boldsymbol{ CD =} BC \cdot \text{ctg} \ \angle BDC = 3 \cdot \text{ctg} \ 30^{\circ} = \boldsymbol{3\sqrt{3}}$

За формулою площі прямокутника (ABCD):

$\boldsymbol{S_{ABCD} = }CD \cdot BC = 3\sqrt{3} \cdot 3 = \boldsymbol{9\sqrt{3}}$ квадратних одиниць.

Розглянемо піраміду FABCD.

Введемо коефіцієнт пропорційності x, тоді A₁A = B₁B = C₁C = D₁D = x і

FA₁ = FB₁ = FC₁ = FD₁ = 2x, так як за умовою  $\displaystyle \frac{FA_{1}}{A_{1}A} = \frac{FB_{1}}{B_{1}B} = \frac{FC_{1}}{C_{1}C} = \frac{FD_{1}}{D_{1}D} = \frac{2}{1}$

За основною властивістю відрізка:

FA = FA₁ + A₁A = 2x + x = 3x

FB = FB₁ + B₁B = 2x + x = 3x

FC = FC₁ + C₁C = 2x + x = 3x

FD = FD₁ + D₁D = 2x + x = 3x

Побудуємо наступні вектори:

$\overrightarrow{FA},\overrightarrow{FB},\overrightarrow{FC},\overrightarrow{FD},\overrightarrow{FA_{1}},\overrightarrow{FB_{1}},\overrightarrow{FC_{1}},\overrightarrow{FD_{1}}$.

Так як за побудовою вектори $\overrightarrow{FA} \uparrow \uparrow \overrightarrow{FA_{1}}, \overrightarrow{FB} \uparrow \uparrow \overrightarrow{FB_{1}},\overrightarrow{FC} \uparrow \uparrow \overrightarrow{FC_{1}},\overrightarrow{FD} \uparrow \uparrow \overrightarrow{FD_{1}}$ і виконується наступне відношення  $\displaystyle \frac{|\overrightarrow{FA}|}{|\overrightarrow{FA_{1}}|} = \frac{|\overrightarrow{FB}|}{|\overrightarrow{FB_{1}}|} = \frac{|\overrightarrow{FC}|}{|\overrightarrow{FC_{1}}|} = \frac{|\overrightarrow{FD}|}{|\overrightarrow{FD_{1}}|} = \frac{3x}{2x} = \frac{3}{2} = 1,5$, то

$\overrightarrow{FA} =1,5 \overrightarrow{FA_{1}}, \overrightarrow{FB} =1,5 \overrightarrow{FB_{1}},\overrightarrow{FC}=1,5 \overrightarrow{FC_{1}},\overrightarrow{FD} =1,5\overrightarrow{FD_{1}}$, отже за означенням точка F є центром гомотетії з коєфіцієнтом 1,5, отже чотирикутник ABCD гомотетичний чотирикутнику A₁B₁C₁D₁ із центром F і коєфіцієнтом 1,5, тоді за властивістю гомотетії площа многокутника змінюється у k² разів де k - коєфіцієнт гомотетії і

k = 1,5, отже $\dfrac{S_{ABCD}}{S_{A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}}} = k^{2} \Longrightarrow \ \boldsymbol {S_{A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}} = }\dfrac{S_{ABCD}}{k^{2}} = \dfrac{9\sqrt{3} }{2,25} = \boldsymbol{ 4\sqrt{3}}$ квадратних одиниць і так як $S_{A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}} = S_{p}$, то $S_{p} = 4\sqrt{3}$ квадратних одиниць.

#SPJ1