Question

Інтегральна крива однорідного звичайного диференціального рівняння y′=(y/x)+(x^2)/(3*y^2) проходить через точку M0(e;e). Знайдіть y(1)

Answer 1

Ответ:

Значение функции в точке x = 1:

$\boldsymbol{\boxed{y(1) = 0}}$

Примечание:

$t \ -$ функция от аргумента x

По таблице интегралов:

$\boxed{\int {\frac{1}{x} } \, dx = \ln|x| }$

$\boxed{\int {x^{n} } \, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1} }$

Пошаговое объяснение:

Однородное обычное дифференциальное уравнение первого порядка:

$y' = \dfrac{y}{x} + \dfrac{x^{2} }{3y^{2}}$

Замена:

$t = \dfrac{y}{x} \Longrightarrow y = tx$

$y' = (tx)' = t'x + tx' = t'x + t$

Производная через дифференциалы:

$t' = \cfrac{dt}{dx}$

------------------------------------------------------------------

$t'x + t = t + \dfrac{x^{2} }{3t^{2}x^{2} }$

$t'x = \dfrac{1}{3t^{2}}$

$\cfrac{dt}{dx} \ x = \dfrac{1}{3t^{2}}$

$3t^{2} \, dt = \dfrac{dx}{x}$

$\displaystyle \int 3t^{2} \, dt = \int \dfrac{dx}{x}$

$\displaystyle 3\int t^{2} \, dt = \ln|x|$

$\dfrac{3t^{3}}{3} = \ln|x| + C$

$C = t^{3} - \ln|x|$

$\boldsymbol{\boxed{C = \bigg(\dfrac{y}{x} \bigg)^{3} - \ln|x|}}$ - общий интеграл дифференциального уравнения

Частное решение (по условию интегральная кривая проходит через точку $M_{0}(e;e)$ ):

$C = \bigg(\dfrac{e}{e} \bigg)^{3} - \ln|e| = 1^{3} - 1 = 1 - 1 = 0$

$0 = \bigg(\dfrac{y}{x} \bigg)^{3} - \ln|x| \Longleftrightarrow \ln|x| = \bigg(\dfrac{y}{x} \bigg)^{3}$

$y(1):$

$\ln|1| = \bigg(\dfrac{y}{1} \bigg)^{3}$

$y^{3} = 0 \Longrightarrow y = 0 \Longrightarrow y(1) =0$