Question

висота правильної чотирикутної піраміди дорівнює
$3 \sqrt{3}$
бічні грані нахилені до основи під кутом 60 градусів, знайти площу бічної поверхні піраміди ​

Answer 1

Ответ:

Площадь боковой поверхности правильной четырёхугольной пирамиды равна 72 ед².

Объяснение:

Проведём апофему SM (SM⊥DC).

SH - перпендикуляр к плоскости (АВС) (т.к. SH - высота пирамиды, основание которой - квадрат ABCD), SM - наклонная, HM - проекция SM на плоскость (АВС), SM⊥DC, тогда, по теореме о трёх перпендикулярах, HM⊥DC.

Имеем (АВС)∩(SDC) = DC, SM ∈ (SDC), HM ∈ (ABC), SM⊥DC, HM⊥DC, тогда ∠((АВС);(SDC)) = ∠SMH = 60°.

Рассмотрим ΔSHM - прямоугольный (∠SHM = 90°).

Синус угла – это отношение противолежащего катета к гипотенузе, тогда:

$\displaystyle\sin \angle SMH = \frac{SH}{SM}$

Подставляем ∠SMH = 60°, SH = 3√3 и находим апофему SM.

$\displaystyle \sin 60^\circ = \frac{3\sqrt{3} }{SM} \Longrightarrow SM = \frac{3\sqrt{3} }{\frac{\sqrt{3} }{2} } = 3\ \not\!\!\!\!\!\sqrt{3}\cdot \frac{2}{\not\!\!\!\!\!\sqrt{3} } =3\cdot 2 = 6$

По теореме Пифагора SM² = SH² + HM², отсюда:

$HM = \sqrt{SM^2-SH^2} = \sqrt{6^2-(3\sqrt{3})^2 } = \sqrt{36-27} = \sqrt{9} = 3$

Основание высоты правильной четырёхугольной пирамиды - центр вписанной окружности, тогда НМ - радиус вписанной окружности.

Радиус окружности, вписанной в квадрат (ABCD - квадрат, т.к. SABCD – правильная пирамида) находится по следующей формуле:

$\displaystyle r=\frac{a}{2}$, где r - радиус вписанной окружности, а - сторона квадрата.

В нашем случае:

$\displaystyle HM = \frac{CD}{2} \Longrightarrow CD=2HM =2\cdot3 = 6$

ABCD - квадрат, периметр квадрата равен произведению длины любой его стороны на четыре.

$P_{ABCD}=P_o = 4\cdot CD = 4 \cdot 6 = 24$

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды можно найти по следующей формуле:

$\displaystyle S_\delta = \frac{1}{2} P_o \cdot h$, где Р₀ - периметр основания, h - апофема.

Подставляем:

$\displaystyle S_\delta = \frac{1}{2} P_o \cdot SM = \frac{1}{\not2}\cdot \not\!24 \cdot 6 = 12\cdot 6= 72 \ \text{ed}^2$

Площадь боковой поверхности правильной четырёхугольной пирамиды равна 72 ед².