Question

В основі прямокутного паралелепіпеда лежить квадрат. Знайдіть площу бічної поверхні якщо його діагональ дорівнює d i утворює кут альфа з діагоналлю основи

Answer 1

Ответ:

$S=d^2\sqrt{2}\sin 2\alpha$

Объяснение:

• Площадь боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда можно найти как произведение периметра основания на боковое ребро.

B₁D = d

∠B₁DB = α

Из прямоугольного треугольника B₁DB:

$\sin\angle B_1DB=\dfrac{BB_1}{B_1D}$

$BB_1=B_1D\cdot \sin\angle B_1DB=d\sin\alpha$

$\cos\angle B_1DB=\dfrac{BD}{B_1D}$

$BD=B_1D\cdot \cos\angle B_1DB=d\cos\alpha$

• Диагональ квадрата со стороной а равна а√2.

BD = AB√2

$AB=\dfrac{BD}{\sqrt{2}}=\dfrac{d\cos\alpha }{\sqrt{2}}$

Площадь боковой поверхности:

$S=P_{ABCD}\cdot BB_1=4AB\cdot BB_1$

$S=4\cdot \dfrac{d\cos\alpha }{\sqrt{2}}\cdot d\sin\alpha=\dfrac{4d^2\sin\alpha\cos\alpha}{\sqrt{2}}=$

$=\dfrac{2\sqrt{2}d^2\cdot 2\sin\aplha\cos\alpha}{2}=d^2\sqrt{2}\sin 2\alpha$

Применили формулу синуса двойного угла:

$\sin 2\alpha =2\sin\alpha\cos\alpha$