Question

Допоможіть вирішити диференціальні рівняння (хоча б частково):
1) $y' = \sqrt{1-3y^2} *tg\pi t$
2) $(1-2y)*y'=\frac{2t+cos\frac{\pi }{3} }{sin3y}$
3) $y'*sin(y)^2=\frac{cos3x}{2y}$

Answer 1

Ответ:

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными .

$\displaystyle 1)\ \ y'=\sqrt{1-3y^2}\cdot tgt\ \ \ \Rightarrow \ \ \ \dfrac{dy}{dt}=\sqrt{1-3y^2}\cdot tgt\ \ ,\\\\\int \frac{dy}{\sqrt{1-3y^2}}=\int tgt\, dt\ \ ,\ \ \ \int \frac{dy}{\sqrt{1-(\sqrt3y)^2}}=\int \frac{sint}{cost}\, dt\ \ ,\\\\\\\frac{1}{\sqrt3}\cdot arcsin(\sqrt3y)=-ln|cost|+lnC\\\\\\\bf arcsin(\sqrt3y)=\sqrt3\cdot ln\Big(\frac{C}{cost}\Big)$  

$\displaystyle 2)\ \ (1-2y)\cdot y'=\frac{2t+cos\frac{\pi }{3}}{sin3y}\ \ \Rightarrow \ \ \ (1-2y)\cdot \frac{dy}{dt}=\frac{2t+\frac{1}{2}}{sin3y}\ \ ,\\\\\\\int (1-2y)\cdot sin3y\, dy=\int (2t+\frac{1}{2}\, )\, dt$  

Применим интегрирование по частям.

$\displaystyle \int (1-2y)\cdot sin3y\, dy=\Big[\ u=1-2y\ ,\ du=-2\, dy\ ,\ dv=sin3y\, dy\ ,\\\\\\v=-\frac{1}{3}\, cos3y\ \Big]=-\frac{1}{3}\, (1-2y)\cdot cos3y-\frac{2}{3}\int cos3y\, dy=\\\\\\=-\frac{1}{3}\, (1-2y)\cdot cos3y-\frac{2}{9}\, sin3y+C_1$  

$\displaystyle \int (2t+\frac{1}{2})\, dt=\int \frac{4t+1}{2}\, dt=\frac{1}{2}\cdot \frac{(4t+1)^2}{4\cdot 2} +C_2=\frac{(4t+1)^2}{16} +C_2$

Общий интеграл:

$\bf \displaystyle -\frac{1}{3}\, (1-2y)\cdot cos3y-\frac{2}{9}\, sin3y=\frac{(4t+1)^2}{16} +C$    

$3)\ \ \displaystyle y'\cdot sin(y^2)=\frac{cos3x}{2y}\ \ \ \Rightarrow \ \ \ \frac{dy}{dx}\cdot sin(y^2)=\frac{cos3x}{2y}\\\\\\\int sin(y^2)\cdot \underbrace{2y\, dy}_{d(y^2)}=\int cos3x\, dx\\\\\\\bf -cos(y^2)=\frac{1}{3}\cdot sin3x+C$