1. Составьте уравнение гиперболы, если её вершины находятся в точках (-3; 0) и (3; 0), а фокусы – в точках (-5; 0) и (5; 0).
2. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку М(2; 2; -2) и параллельной плоскости x +2y -3z = 0.
Ответы
1) Каноническое уравнение гиперболы (x^2/a^2) –(y^2/b^2) =1.
Действительная ось гиперболы: 2a=x(A2) - x(A1) = 6
фокусное расстояние: 2с=10
b=(c^2-a^2)^(1/2) = (5^2-3^2)^(1/2) = 4.
(x/3)^2 - (y/4)^2 = 1 или (x^2/9) – (y^2/16) = 1.
2) Заданы плоскость P: x + 2y − 3z = 0 и точка M(2; 2; ,-2).
Написать уравнение плоскости P′, проходящей через точку M параллельно плоскости P.
Решение.
Так как плоскости P и ′P′ параллельны, то нормальный вектор для плоскости P будет также нормальным вектором для плоскости P′.
Из уравнения плоскости получаем N¯= (1; 2; −3).
Далее запишем уравнение плоскости по формуле A(x−x0)+B(y−y0)+C(z−z0)=0− уравнение плоскости, которая проходит через точку M(x0,y0,z0) перпендикулярно вектору N¯=(A,B,C).
1(x−2)+2(y−2)−3(z+2)=0⇒
⇒x-2+2y-4−3z-6=0⇒
⇒x+2y−3z-12=0.
Ответ: x+2y−3z-12=0.