Question

1) Найти все корни уравнения (комплексные числа)
$z^3=-i$
2) Найти все корни уравнения
$x^4+2x^3+10x^2+18x+9=0$

Answer 1

Ответ:

№1

$z_1 =\displaystyle \frac{\sqrt{3} }{2}-\frac{1}{2} i ~~ ; ~~ z_2 =\displaystyle i ~~ ; ~~z_3 =\displaystyle -\frac{\sqrt{3} }{2} - \frac{1}{2}i$

№2

$x _1 =- 1 ~ ;~ x _2 = 3i ~ ; ~ x_3 = -3i$

Объяснение:

№1

Найти все корни уравнения

$z^3 = -i \\\\ z = \sqrt[3]{-i}$

Запишем данное число в тригонометрическом виде

$\sqrt[3]{-i} =\sqrt[3]{ \cos(-\frac{\pi }{2} )+\sin (-\frac{\pi }{2}) i}$

$r =\sqrt{(-1)^2 + 0^2} = 1$

Воспользуемся Формулой

$\sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{r} \Big(\cos \ (\tfrac{\phi + 2\pi k}{n} ) + i \cdot \sin (\frac{\phi +2\pi k}{n}) \Big)$

где  k  = 0 , 1 , 2 , ... , n -1

В нашем случае

r = 1 ; n = 3 ;  $\phi =- \frac{\pi }{2}$ ;  число корней равно 3-м

$\displaystyle \sqrt[3]{z^3}= z= \Bigg(\cos \left (\frac{- \frac{\pi }{2} + 2\pi k}{3 } \right) + i \cdot \sin \left(\frac{- \frac{\pi }{2} +2\pi k}{3}\right) \Bigg )$

Подставляем   k = 0,1,2

$z_1 =\displaystyle \Bigg(\cos \left (\frac{- \frac{\pi }{2} }{3 } \right) + i \cdot \sin \left(\frac{- \frac{\pi }{2} }{3}\right) \Bigg ) = \left ( \cos \left (-\frac{\pi }{6} \right)+ i \cdot \sin\left(-\frac{\pi }{6}\right) \right ) = \\\\\\= \frac{\sqrt{3} }{2}-\frac{1}{2} i$

$z_2 =\displaystyle \Bigg(\cos \left (\frac{- \frac{\pi }{2} + 2\pi }{3 } \right) + i \cdot \sin \left(\frac{- \frac{\pi }{2} +2\pi }{3}\right) \Bigg ) = \left ( \cos \frac{\pi }{2} + i \cdot \sin\frac{\pi }{2} \right ) = i$

$z_3 =\displaystyle \Bigg(\cos \left (\frac{- \frac{\pi }{2} + 4\pi }{3 } \right) + i \cdot \sin \left(\frac{- \frac{\pi }{2} +4\pi }{3}\right) \Bigg ) = \left ( \cos \frac{7\pi }{6} + i \cdot \sin\frac{7\pi }{6} \right ) = \\\\\\= -\frac{\sqrt{3} }{2} - \frac{1}{2}i$

№2

Найти все корни уравнения

$x^4 + 2x^3 + 10x^2 + 18x + 9 = 0$

Методом перебора , можно найти корень    x =  - 1

Разложим данное уравнение с помощью схемы Горнера

$\large \begin{array} {c|c|c|c|c|c|} \bold{- 1} & \stackrel{\pmb{x^4}}{1} & \stackrel{\pmb{x^3}}{2} & \stackrel{\pmb{x^2}}{10} & \stackrel{\pmb{x}}{18} & \stackrel{\pmb 1}{9} \cline{7 - 12} & &- 1&-1& -9 & -9 \cline {7-12} & & \bf 1 &\bf 9&\bf 9&0&\cline {7-12} \end{array}$

$x^4 + 2x^3 + 10x^2 + 18x + 9 =(x+1)(x^3 + x^2 + 9x + 9 )$

Теперь можно довольно-таки  просто разложить данное уравнение

$(x+1)(x^3 + x^2 + 9x + 9 )= (x+1)(x^2(x+1)+ 9(x+1)) = \\\\= (x^2 +9)(x+1)(x+1)$

И уравнение будет иметь три различных корня

$x _1 =- 1$

$x^2 +9 =0 \\\\ x _{2,3} = \pm 3i$