Question

Предположим, что вес золотой короны царя Гиерона в воздухе 20 Н, а в воде 18,75 Н. Какова плотность вещества короны? Предполагая что к золоту добавлено только серебро,определите, сколько золота и сколько серебра присутствует в составе короны?
Средняя плотность золота 2*10^4 кг/м^3, а серебра - 10^4 кг/м^3

Answer 1

Дано:
$P_1 = 20 ; text{H}$
$P_2 = 18.75 ; text{H}$
$rho_{Au} = 2 cdot 10^4$ кг/м³ 
$rho_{Ag} = 10^4$ кг/м³ 
$rho_{H2O} = 10^3$ кг/м³  -- плотность воды
$g = 10$ м/с² -- ускорение свободного падения

Найти:
$rho = ?$
$m_{Au} = ? m_{Ag} = ?$

Решение:
Плотность определяется, как отношение массы к объему:
$rho = dfrac{m}{V}$.
На тело, погруженное в воду, действует выталкивающая сила Архимеда, которая равна:
$F_a = rho_{H20} Vg$,
где $V$ - это объем тела.

Таким образом, вес тела в воздухе будет отличаться от веса того же тела в воде на силу Архимеду:
$P_1 - P_2 = F_a$
Отсюда, можем выразить объем тела:
$P_1 - P_2 = rho_{H2O} Vg$
$V = dfrac{P_1 - P_2}{rho_{H2O} g}$.
Зная объем и вес (массу) можем найти среднню плотность вещества короны:
$P_1 = mg = rho Vg$
$rho = dfrac{P_1}{Vg}$
Подставим выражение для объема и получим:
$rho = dfrac{P_1}{P_1 - P_2} rho_{H2O}$
Посчитаем:
$rho = dfrac{20}{20 - 18.75}cdot 10^3 = 16 cdot 10^3 = 1.6 cdot 10^4$ кг/м³.

Видно, что плотность меньше плотности золота, а значит корона не полностью золотая. Есть примесь других материалов. Мы знаем, что такой примесью является серебро. Высчитаем массовую часть серебра в короне. Для этого составим систему 2 уравнений.
Во-первых, суммарная масса короны равна сумме массы золота и массы серебра:
1) $m_{Au} + m_{Ag} = m = dfrac{P_1}{g} = dfrac{20}{10} = 2$ кг
Во-вторых, мы можем выразить объемы серебра и золота, зная их плотности, а сумму объемов, то есть объем короны, мы знаем:
2) $V = dfrac{m}{rho}=V_{Au} + V_{Ag} = dfrac{m_{Au}}{rho_{Au}} + dfrac{m_{Ag}}{rho_{Ag}}$

Подставим числа и решим систему двух уравнений с двумя неизвестными:
$1) ; m_{Au} + m_{Ag} = 2\ 2) ; dfrac{m_{Au}}{2cdot 10^4} + dfrac{m_{Ag}}{10^4} = dfrac{2}{1.6cdot 10^4}$
Решением системы уравнений являются следующие массы:
$m_{Au} = 1.5$ кг
$m_{Ag} = 0.5$ кг


Ответ: 
$rho = 1.6 cdot 10^4$ кг/м³
$m_{Au} = 1.5$ кг
$m_{Ag} = 0.5$ кг