Question

20 баллов

Решить
$3 {}^{2x + 1} + 5 \times 3 {}^{x} - 2 < 0$
​

Answer 1

Ответ:

$\boldsymbol{ \boxed{ x \in (-\infty; - 1) }}$

Объяснение:

$3^{2x + 1} + 5 \cdot 3^{x} - 2 < 0$

$3 \cdot 3^{2x} + 5 \cdot 3^{x} - 2 < 0$

$3 \cdot (3^{x})^{2} + 5 \cdot 3^{x} - 2 < 0$

Замена: $3^{x} = t; t > 0$

$3t^{2} + 5t - 2 < 0$

$3t^{2} + 5t - 2 = 0$

$D = 25 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49 = 7^{2}$

$t_{1} = \dfrac{-5 + 7}{2 \cdot 3} = \dfrac{2}{2 \cdot 3} =\dfrac{1}{3}$

$t_{2} = \dfrac{-5 - 7}{2 \cdot 3} = -\dfrac{12}{6} = - 2$

$3t^{2} + 5t - 2 = 3 \bigg(t - \dfrac{1}{3} \bigg)\bigg(t + 2 \bigg)$

$\displaystyle 3 \cdot (3^{x})^{2} + 5 \cdot 3^{x} - 2 < 0 \Longleftrightarrow \left \{ {{3 \bigg(t - \dfrac{1}{3} \bigg)\bigg(t + 2 \bigg) < 0 \bigg|:3} \atop {t > 0}} \right.$

$\displaystyle\left \{ {{ \bigg(t - \dfrac{1}{3} \bigg)\bigg(t + 2 \bigg) < 0} \atop {t > 0}} \right \Longleftrightarrow \left \{ {{ -2 < t < \dfrac{1}{3} } \atop {t > 0}} \right \Longleftrightarrow \left \{ {{ -2 < 3^{x} < \dfrac{1}{3} } \atop {3^{x} > 0}} \right$

$-2 < 3^{x} < \dfrac{1}{3}$  - так как $3^{x} > -2$, так как по свойствам показательной функции $3^{x} > 0$ при $x \in \mathbb R$ и $0 > -2$.

$3^{x} < \dfrac{1}{3}$

$3^{x} < 3^{-1} \Longleftrightarrow x < -1 \Longleftrightarrow\boldsymbol{ \boxed{ x \in (-\infty; - 1) }}$