Question

Даю 20 баллов! Решите задачу в закрепе.

Answer 1

Ответ:

$1) ~ x_1 ^2 + x_2^2 = 58$

$2) ~ x_1^3 + x_2^3 = 440$

$3) ~ x_1 ^2 x_2 + x_1 x_2^2 = 24$

$4) ~ x_1^2- x_2 ^2= \pm 16 \sqrt{13}$

Объяснение:

Для квадратного уравнения , у которого  коэффициент   у  x²  равен  1 , можно применить теорему Виета :

$x^2 + px + q = 0 \\\\ \left \{\begin{array}{l }x_1 + x_2 = - p \\\\ x_1 x_2= q\end{array}$

Для нашего уравнения  $x^2 -8x +3= 0$  :

$\left \{\begin{array}{l }x_1 + x_2 = 8 \\\\ x_1 x_2= 3\end{array}$

Перейдем к решению

№1

Заметим что :

$x_1 ^2 + x_2^2=(\underbrace{x_1+x_2}_{8})^2 - 2\underbrace{x_1x_2}_{3} =8^2 - 2\cdot 3 = 64 - 6 = \pmb{58}$

№2

Применим  формулу :

$\bullet ~~a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 -ab+b^2 )$

$x_1^ 3 + x_2 ^3 = (x_1 + x_2)(x_1 ^2 - x_1 x_2+x_2^2) =(x_1 + x_2)(x_1 ^2 +x_2^2-x_1x_2)$

Из первого задания нам известно что :

$x_1 ^ 2+ x_2^2 = 58$

Тогда :

$(x_1 + x_2)(x_1 ^2 +x_2^2-x_1x_2) = 8 \cdot (58 - 3) = 8 \cdot 55 = \pmb{440}$

№3

Выносим общий множитель , и подставляем значения

$x_1 ^2 x_2 + x_1 x_2^2 = x_1x_2(x_1+ x_2) = 3 \cdot 8 =\pmb{ 24}$

№4

Разложим по формуле  $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$

$x_1 ^2 -x_2^2 = (x_1 +x_2)(x_1 - x_2)$

Значение первой скобки нам известно ,  а второй не известно , значит  нам будет  достаточно найти значение второй скобки

Из первого задания нам известно :

$x_1 ^2 + x_2^2 = 58$

Теперь заметим что :

$x_1 ^2 + x_2^2 - 2x_1x_2 = x_1 ^2 - 2x_1 x_2 + x_2^2 = (x_1 -x_2)^2$

Тогда :

$(x_1 -x_2)^2 = 58 - 2\cdot 3 = 58 - 6 = 52$

$x_1 - x_2 = \pm\sqrt{52} \\\\ x_1 - x_2 = \pm2\sqrt{13}$

Теперь рассмотрим два случая (т.к нам не известно x₁ > x₂ или x₁ < x₂ , и из  этого можно сделать вывод что x₁ - x₂ может принимать  , так и положительные значения , так и отрицательные   )

В пером $x_1 -x_2 = 2\sqrt{13}$

$x_1 ^2 -x_2^2 = (x_1 +x_2)(x_1 - x_2) = 8 \cdot 2\sqrt{13} = 16 \sqrt{13}$

Во втором $x_1 - x_2 = -2\sqrt{13}$

$x_1 ^2 -x_2^2 = (x_1 +x_2)(x_1 - x_2) = 8 \cdot (-2\sqrt{13}) =- 16 \sqrt{13}$

Если решать через дискриминант , выйдет аналогичное