Question

решите задачу в закрепе

Answer 1

Ответ.

Если  $x_1\ ,\ x_2$ - корни уравнения   $x^2-8x+3=0$  , то по теореме Виета

выполняются равенства  $x_1+x_2=\boldsymbol{8}\ ,\ x_1\cdot x_2=\boldsymbol{3}$  .

1)  Так как   $(x_1+x_2)^2=x_1^2+2x_1x_2+x_2^2$  ,  то

$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=8^2-2\cdot 3=64-6=\bf 58$

2)  Так как   $(x_1+x_2)^3=x_1^3+3x_1^2x_2+3x_1x_2^2+x_2^3$  , то  

$x_1^3+x_2^3=(x_1+x_2)^3-3x^2_1x_2-3x_1x_2^2=(x_1+x_2)^3-3x_1x_2(x_1+x_2)=\\\\=8^3-3\cdot 3\cdot 8=512-72=\bf 440$  

$3)\ \ x_1^2x_2+x_1x_2^2=x_1x_2(x_1+x_2)=3\cdot 8=\bf 24$  

$4)\ a)\ \ \ x_1=4-\sqrt{13}\ ,\ x_2=4+\sqrt{13}\\\\x_1^2-x_2^2=(x_1+x_2)(x_1-x_2)=8\cdot (4-\sqrt{13}-4-\sqrt{13})=8\cdot (-2\sqrt{13})=\bf -16\sqrt{13}$

$b)\ \ \ x_1=4+\sqrt{13}\ ,\ x_2=4-\sqrt{13}\\\\x_1^2-x_2^2=(x_1+x_2)(x_1-x_2)=8\cdot (4+\sqrt{13}-4+\sqrt{13})=2\sqrt{13}\cdot 8=\bf 16\sqrt{13}$