Question

помогите пожалуйста решить

Answer 1

Ответ:

${S_{2006}} = - 2006$

Пошаговое объяснение:

СПОСОБ 1 (хитрый)

Обратим внимание, что в каждой из прогрессий складывают четное количество членов.

Одним из способов подсчета суммы арифметической прогрессии является разбиение ее членов на пары: первый с последним, второй с предпоследним, третий с предпредпоследним и т. д. Если количество членов прогрессии $n$, то количество таких пар $\displaystyle\frac{n}{2}.$

Сумма членов в каждой такой паре будет одинаковой. Действительно, по формуле общего члена ${a_n} = {a_1} + d(n - 1)$, поэтому при любом $k \in \{ 1,\,\, \ldots ,\,\,n\}$

${a_k} + {a_{n - k + 1}} = {a_1} + d(k - 1) + {a_1} + d(n - k + 1 - 1) = 2{a_1} + d(n - 1)$

выражение, имеющее значение, не зависящее от $k.$

Рассмотрим разность

${S_{1006}} - {S_{1000}} = 1000 - 1006;\\\\{a_1} + {a_2} + \ldots + {a_{1000}} + {a_{1001}} + \ldots + {a_{1006}} - ({a_1} + {a_2} + \ldots + {a_{1000}}) = - 6;\\\\{a_{1001}} + {a_{1002}} + {a_{1003}} + {a_{1004}} + {a_{1005}} + {a_{1006}} = - 6.$

Сумма первых 2006 членов этой прогрессии состоит из $\displaystyle\frac{{2006}}{2} = 1003$ пар с суммой

${a_1} + {a_{2006}} = {a_2} + {a_{2005}} = \ldots = {a_{1001}} + {a_{1006}} = {a_{1002}} + {a_{1005}} = {a_{1003}} + {a_{1004}} = x.$

Из полученного выше равенства

${a_{1001}} + {a_{1002}} + {a_{1003}} + {a_{1004}} + {a_{1005}} + {a_{1006}} = - 6;\\\\({a_{1001}} + {a_{1006}}) + ({a_{1002}} + {a_{1005}}) + ({a_{1003}} + {a_{1004}}) = - 6;\\\\x + x + x = - 6;\\\\x = - 2.$

Значит

${S_{2006}} = 1003 \cdot ( - 2) = - 2006.$

СПОСОБ 2 (лобовой)

Воспользуемся формулой суммы арифметической прогрессии

${S_n} = \displaystyle\frac{{2{a_1} + d(n - 1)}}{2} \cdot n.$

Тогда

${S_{1000}} = \displaystyle\frac{{2{a_1} + d \cdot 999}}{2} \cdot 1000 = 1006,$

откуда

$2{a_1} + 999d = \displaystyle\frac{{503}}{{250}};$

для второй суммы

${S_{1006}} = \displaystyle\frac{{2{a_1} + d \cdot 1005}}{2} \cdot 1006 = 1000,$

откуда

$2{a_1} + 1005d = \displaystyle\frac{{1000}}{{503}}.$

Отнимая от второго из полученных уравнений первое, получаем

$1005d - 999d = \displaystyle\frac{{1000}}{{503}} - \displaystyle\frac{{503}}{{250}};\\\\6d = - \displaystyle\frac{{3009}}{{503 \cdot 250}};\\\\d = - \displaystyle\frac{{1003}}{{251\,500}}.$

Подставляя найденное значение в первое уравнение, находим

$2{a_1} = \displaystyle\frac{{503}}{{250}} - 999d = \displaystyle\frac{{301\,603}}{{50\,300}}.$

Тогда

${S_{2006}} = \displaystyle\frac{{2{a_1} + d \cdot 2005}}{2} \cdot 2006 = (2{a_1} + 2005d) \cdot 1003 =\\\\= \left( {\displaystyle\frac{{301\,603}}{{50\,300}} - 2005 \cdot \displaystyle\frac{{1003}}{{251\,500}}} \right) \cdot 1003 = - 2006.$