Question

100 балов! срочно! найти одз!
$log_{x}(3x) \leqslant \sqrt{ log_{x}(3 {x}^{7} ) }$
​

Answer 1

Ответ:

$x \in \left( {0;\,\,\displaystyle\frac{1}{{\sqrt[7]{3}}}} \right] \cup (1;\,\, + \infty )$

Объяснение:

В неравенстве присутствует корень — значит подкоренное выражение должно быть не меньше нуля. Далее, подлогарифмическое выражение должно быть положительным, и основание логарифма должно быть положительным и не равно 1. Поэтому

$\left\{ \begin{array}{l}{\log _x}(3{x^7}) \ge 0,\\3x > 0,\\3{x^7} > 0,\\x > 0,\\x \ne 1.\end{array} \right.$

Последние четыре неравенства задают промежуток $x \in (0;\,\,1) \cup (1;\,\, + \infty ).$

Первое неравенство следует рассмотреть на двух промежутках в зависимости от значений $x$:

при $0 < x < 1\ {\log _x}(3{x^7}) \ge {\log _x}1\,\, \Leftrightarrow \,\,3{x^7} \le 1,$

следовательно

$x \in \left( {0;\,\,\displaystyle\frac{1}{{\sqrt[7]{3}}}} \right];$

при $x > 1\ {\log _x}(3{x^7}) \ge {\log _x}1\,\, \Leftrightarrow \,\,3{x^7} \ge 1,$

следовательно, $x \in (1;\,\, + \infty ).$

Таким образом, ОДЗ:

$x \in \left( {0;\,\,\displaystyle\frac{1}{{\sqrt[7]{3}}}} \right] \cup (1;\,\, + \infty ).$