Question

Решить по схеме Горнера x⁴-x³-13x²+x+12=0; ​

Answer 1

Ответ:

x₁ = 1 ,  x₂ = -1  ,  x₃ = 4 ,  x₄ = -3

Объяснение:

x⁴ - x³ - 13x² + x + 12=0

Сумма  коэффициентов данного уравнения  равна нулю

1  - 1 - 13 + 1 + 12 =  14 - 14  = 0

Значит один из  корней данного уравнения равен 1

Применяем схему Горнера

$\large \begin{array} {c|c|c|c|c|c|} \bold 1 & \stackrel{\pmb{x^4}}{1} & \stackrel{\pmb{x^3}}{-1} & \stackrel{\pmb{x^2}}{-13} & \stackrel{\pmb{x}}{1} & \stackrel{\pmb 1}{12} \cline{7 - 12} & & 1&0&-13& -12 \cline {7-12} & & \bf 0&\bf -13&\bf -12&0&\cline {7-12} \end{array}$

$x^4 -x^3 - 13x^2 + x + 12 = (x-1)(x^3 - 13x - 12)$

Остается решить уравнение  $x^3 +0 \cdot x^2 - 13x - 12 =0$

Методом перебора находим корень  x = -1

И снова применяем схему  Горнера

$\large \begin{array} {c|c|c|c|c|c|} \bold {-1} & \stackrel{\pmb{x^3}}{1} & \stackrel{\pmb{x^2}}{0} & \stackrel{\pmb{x}}{-13} & \stackrel{\pmb{1}}{-12} & \cline{7 - 12} & & -1&1&12& \cline {7-12} & & \bf-1&\bf -12&\bf 0&\cline {7-12} \end{array}$

$(x-1)(x^3 - 13x - 12) = (x-1)(x+1)(x^2 -x -12)$

Далее уже  можно решить  данное уравнение $x^2 -x +12 = 0$

по теореме Виета

$\left \{ \begin{array}{l} x_1 + x _2 = 1 \\\\ x_1 x_2= -12 \end{array} \Leftrightarrow x_1 = 4 ~~ ; ~~ x _2 = -3$