Есть бак с заданным объёмом. За 48 дней он заполняется полностью. За сколько дней он заполнится наполовину, если каждый день в него заливают в два раза больше, чем в предыдущий.
Пыталась решить через геометрическую прогрессию, но постоянно получаю ответ 46, что бред.
Ответы
сейчас тоже решала через геометрическую прогрессию и получила ответ 46) либо это я что то путаю либо ответ реально правильный
Відповідь:
За 47 дней.
Покрокове пояснення:
Сумма n членов геометрической прогрессии ( Sn ) определяется по формуле:
S(n) = b1 × ( 1 - q^n ) / ( 1 - q )
где b1 - первый член этой прогрессии;
q - знаменатель этой прогрессии.
По условию задачи q = 2 ( каждый день в бак заливают в два раза больше, чем в предыдущий ).
За 48 дней бак заполняется полностью.
Объем бака равен сумме 48 членов геометрической прогрессии:
S(48) = b1 × ( 1 - 2^48 ) / 3
За Х дней бак заполнится наполовину. Объем половины бака равен сумме Х членов геометрической прогрессии:
S(Х) = b1 × ( 1 - 2^Х ) / 3
S(48) в два раза больше, чем S(Х), следовательно:
S(48) / S(Х) = 2
( ( 1 - 2^48 ) × b1/3 ) / ( ( 1 - 2^Х ) × b1/3 ) = 2
3b1 / 3b1 × ( 1 - 2^48 ) / ( 1 - 2^Х ) = 2
1 - 2^48 = 2 - 2 × 2^Х = 2 - 2^( Х + 1 )
2^48 = 2^( Х + 1 ) - 1
Единицу можно отбросить, так, как по сравнению с 2 в 48 степени это бесконечно малая величина ( как одна песчинка по сравнению с целой пустыней или одна капля по сравнению со всем океаном ). Получаем:
2^48 = 2^( Х + 1 )
Значит:
Х + 1 = 48
Х = 48 - 1 = 47
Бак заполнится наполовину за 47 дней.
Для подтверждения этого достаточно понять интересную особенность геометрической прогрессии со знаменателем равным 2. Она состоит в том, что любой ее старший член равен сумме предшествующих ему членов плюс единица.
Например сумма 1 + 2 + 4 + 8 = 15, а следующий член равен 16.
Если взять 48 член, то он равен:
b(48) = 140 737 488 355 328,
а сумма предыдущих 47 членов равна:
S(47) = 140 737 488 355 327
Разница в единицу сохраняется, но погрешность между b(48) и S(47) составляет 7 × 10^(-15).