Question

Обчислити об'єми тіл, утворених обертанням навколо осі OY фігур, обмежених зазначеними лініями:

Answer 1

Ответ:

Объем тела, образованного вращением вокруг оси OY равен $\displaystyle\bf 6\frac{2}{3}\pi$  ед.³

Пошаговое объяснение:

Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси OY фигур, ограниченных указанными линиями:

y = x²;   4x - y = 0

Формула для нахождения объема тела вращения вокруг оси Оу:

$\boxed {\displaystyle\bf V_{Oy}=\pi \int\limits^d_c {[x_2^2(y)-x_1^2(y)]} \, dx }$

У нас

$\displaystyle\bf x_2^2=y;\;\;\;\;\;x_1=\frac{y}{4}\;\Rightarrow \;x_1^2=\frac{y^2}{16}$

Найдем пределы интегрирования из равенства:

$\displaystyle\bf x^2=4x\\\\x^2-4x=0\\\\x(x-4)=0\\\\x=0;\;\;\;\;\;x=4$

Вычислим объем:

$\displaystyle\bf V_{Oy}=\pi \int\limits^4_0 {(y-\frac{y^2}{16} )} \, dy=\\ \\=\pi \left(\frac{y^2}{2}-\frac{y^3}{48} \right)\bigg|^4_0=\pi \left(\frac{16}{2}-\frac{64}{48}\right)=\\ \\ =\pi \left(8-\frac{4}{3}\right)=\frac{20}{3}\pi =6\frac{2}{3}\pi$

Объем тела, образованного вращением вокруг оси OY равен $\displaystyle\bf 6\frac{2}{3}\pi$  ед.³

#SPJ1