Question

Решите неравенство:

(x-2)^4*(x+2)(5-x)^2/(x^2-4x-5)≥ 0.

Answer 1

Решение.

$\bf \dfrac{(x-2)^4\cdot (x+2)\cdot (5-x)^2}{x^2-4x-5}\geq 0$        ОДЗ:  $\bf x^2-4x-5\ne 0$  

Решаем методом интервалов .

Найдём нули функции , записанной в числителе:  

$\bf x=2\ ,\ x=-2\ ,\ x=5$

Найдём нули функции , записанной в знаменателе:

$\bf x^2-4x-5=0\ \ ,\ \ x_1=-1\ ,\ x_2=5$  (по теореме Виета)

$\bf \dfrac{(x-2)^4\cdot (x+2)\cdot (5-x)^2}{(x+1)(x-5)}\geq 0\ \ \to \ \ \dfrac{(x-2)^4\cdot (x+2)\cdot (x-5)^2}{(x+1)(x-5)}\geq 0\ \ ,\\\\\\\dfrac{(x-2)^4\cdot (x+2)\cdot (x-5)}{x+1}\geq 0$

Применили формулу:  $\bf (a-b)^2=(b-a)^2$   .  

Отметим точки на числовой прямой и подсчитаем знаки в получившихся интервалах .

$\boldsymbol{---[-2\, ]+++(-1)---[\, 2\, ]---(5)+++}$  

Ответ:    $\boldsymbol{x\in [-2\, ;-1\ )\cup \{\, 2\, \}\cup (\ 5\ ;+\infty \, )}$  .