Question

Решите пожалуйста дам 30 балов
Срочно 15 и 20
С объяснением ПОЖАЛУЙСТА
Если будет возможность то и 16

Answer 1

Ответ:

15. 212;

16. 14,5;

20. $3\sqrt 3 {r^2}{{\mathop{\rm ctg}\nolimits} ^2}\frac{\alpha }{2}\left( {1 + \frac{1}{{2\cos \alpha }}} \right)$

Пошаговое объяснение:

15.

Раскроем скобки:

$(2\overrightarrow a - 3\overrightarrow b )(\overrightarrow a - 2\overrightarrow b ) = 2{\overrightarrow a ^2} - 3\overrightarrow a \overrightarrow b - 4\overrightarrow a \overrightarrow b + 6{\overrightarrow b ^2} = 2{\left| {\overrightarrow a } \right|^2} - 7\overrightarrow a \overrightarrow b + 6{\left| {\overrightarrow b } \right|^2}.$

Если $\overrightarrow p (x;\,\,y;\,\,z),$ то $\left| {\overrightarrow p } \right| = \sqrt {{x^2} + {y^2} + {z^2}} ;$

если $\overrightarrow {{p_1}} ({x_1};\,\,{y_1};\,\,{z_1}),\ \overrightarrow {{p_2}} ({x_2};\,\,{y_2};\,\,{z_2}),$ то $\overrightarrow {{p_1}} \overrightarrow {{p_2}} = {x_1}{x_2} + {y_1}{y_2} + {z_1}{z_2}.$

Поэтому

$\left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt {{4^2} + {{( - 2)}^2} + {{( - 4)}^2}} = \sqrt {16 + 4 + 16} = 6;\\\\\left| {\overrightarrow b } \right| = \sqrt {{6^2} + {{( - 3)}^2} + {2^2}} = \sqrt {36 + 9 + 4} = 7;\\\\\overrightarrow a \overrightarrow b = 4 \cdot 6 + ( - 2) \cdot ( - 3) + ( - 4) \cdot 2 = 24 + 6 - 8 = 22.$

Значит

$2{\left| {\overrightarrow a } \right|^2} - 7\overrightarrow a \overrightarrow b + 6{\left| {\overrightarrow b } \right|^2} = 2 \cdot {6^2} - 7 \cdot 22 + 6 \cdot {7^2} = 72 - 154 + 294 = 212.$

16.

Если $A({x_1};\,\,{y_1};\,\,{z_1}),\ B({x_2};\,\,{y_2};\,\,{z_2}),$ то середина отрезка

$M\left( {\displaystyle\frac{{{x_1} + {x_2}}}{2};\,\,\displaystyle\frac{{{y_1} + {y_2}}}{2};\,\,\displaystyle\frac{{{z_1} + {z_2}}}{2}} \right),$

а квадрат длины отрезка $A{B^2} = {({x_2} - {x_1})^2} + {({y_2} - {y_1})^2} + {({z_2} - {z_1})^2}.$

Середина отрезка $PS$

$M\left( {\displaystyle\frac{{1 + 0}}{2};\,\,\displaystyle\frac{{0 - 2}}{2};\,\,\displaystyle\frac{{2 + 1}}{2}} \right);\\\\M\left( {\displaystyle\frac{1}{2};\,\, - 1;\,\,\displaystyle\frac{3}{2}} \right).$

Квадрат длины $TM$

$T{M^2} = {\left( {\displaystyle\frac{1}{2} - ( - 3)} \right)^2} + {( - 1 - ( - 1))^2} + {\left( {\displaystyle\frac{3}{2} - 0} \right)^2} =\\\\= {\left( {\displaystyle\frac{7}{2}} \right)^2} + {0^2} + {\left( {\displaystyle\frac{3}{2}} \right)^2} = \displaystyle\frac{{49}}{4} + \displaystyle\frac{9}{4} = \displaystyle\frac{{58}}{4} = \displaystyle\frac{{29}}{2} = 14{,}5.$

20.

Рассмотрим треугольник $ADE$ — сечение пирамиды и шара плоскостью, проходящей через апофему и высоту пирамиды, вернее, его часть — прямоугольный треугольник $DHE$.

В нем $DEH$ — двугранный угол при основании пирамиды, $OF = OH = r.$

Так как $EO$ — биссектриса угла $\alpha ,$ то

$\angle OEH = \displaystyle\frac{\alpha }{2}.$

В прямоугольном треугольнике $OHE$

$HE = OH{\mathop{\rm ctg}\nolimits} \displaystyle\frac{\alpha }{2} = r{\mathop{\rm ctg}\nolimits} \displaystyle\frac{\alpha }{2}.$

Тогда в треугольнике $DHE$

$DE = \displaystyle\frac{{HE}}{{\cos \alpha }} = \displaystyle\frac{{r{\mathop{\rm ctg}\nolimits} \displaystyle\frac{\alpha }{2}}}{{\cos \alpha }}.$

Отрезок $HE$ в равностороннем треугольнике $ABC$ является радиусом вписанной окружности. Если сторона треугольника равна $a$, его вписанный радиус равен $\displaystyle\frac{{a\sqrt 3 }}{6}.$ Отсюда

$\displaystyle\frac{{a\sqrt 3 }}{6} = r{\mathop{\rm ctg}\nolimits} \displaystyle\frac{\alpha }{2};\\\\a = 2r\sqrt 3 {\mathop{\rm ctg}\nolimits} \displaystyle\frac{\alpha }{2}.$

Площадь равностороннего треугольника со стороной $a$ равна $S = \displaystyle\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4},$ следовательно

${S_{ABC}} = \displaystyle\frac{{{{\left( {2r\sqrt 3 {\mathop{\rm ctg}\nolimits} \displaystyle\frac{\alpha }{2}} \right)}^2}\sqrt 3 }}{4} = 3\sqrt 3 {r^2}{{\mathop{\rm ctg}\nolimits} ^2}\displaystyle\frac{\alpha }{2}.$

Площадь одной боковой грани

${S_1} = \displaystyle\frac{1}{2}BC \cdot DE = \displaystyle\frac{1}{2} \cdot 2r\sqrt 3 {\mathop{\rm ctg}\nolimits} \displaystyle\frac{\alpha }{2} \cdot \displaystyle\frac{{r{\mathop{\rm ctg}\nolimits} \displaystyle\frac{\alpha }{2}}}{{\cos \alpha }} = \displaystyle\frac{{{r^2}\sqrt 3 {{{\mathop{\rm ctg}\nolimits} }^2}\displaystyle\frac{\alpha }{2}}}{{2\cos \alpha }}.$

Тогда площадь полной поверхности

$S = {S_{ABC}} + 3{S_1} = 3\sqrt 3 {r^2}{{\mathop{\rm ctg}\nolimits} ^2}\displaystyle\frac{\alpha }{2} + 3 \cdot \displaystyle\frac{{{r^2}\sqrt 3 {{{\mathop{\rm ctg}\nolimits} }^2}\displaystyle\frac{\alpha }{2}}}{{2\cos \alpha }} = 3\sqrt 3 {r^2}{{\mathop{\rm ctg}\nolimits} ^2}\displaystyle\frac{\alpha }{2}\left( {1 + \displaystyle\frac{1}{{2\cos \alpha }}} \right).$