Предмет: Математика, автор: kropivkaa07

Доведіть, що медіани трикутника поділяють його на шість рівновеликих
трикутників

Ответы

Автор ответа: GoldenVoice
1

Пошаговое объяснение:

Пусть A{M_1}, B{M_2}, C{M_3} — медианы треугольника ABC, M — точка их пересечения. Как известно, каждая из медиан точкой их пересечения делится в отношении 2:1, считая от вершины:

\displaystyle\frac{{AM}}{{M{M_1}}} = \displaystyle\frac{{BM}}{{M{M_2}}} = \displaystyle\frac{{CM}}{{M{M_3}}} = \displaystyle\frac{2}{1}.

Отсюда, например,

MM_3=\displaystyle\frac{1}{3}CM_3.

Пусть площадь треугольника ABC равна S. По формуле

S = \displaystyle\frac{1}{2}ah

можно записать:

S = \displaystyle\frac{1}{2} \cdot AB \cdot CK.

Тогда

{S_{A{M_3}C}} = \displaystyle\frac{1}{2} \cdot A{M_3} \cdot CK = \displaystyle\frac{1}{2} \cdot \displaystyle\frac{1}{2}AB \cdot CK = \displaystyle\frac{1}{4}AB \cdot CK = \displaystyle\frac{S}{2}.

Значит медиана делит треугольник на два треугольника одинаковой площади (равновеликих треугольника).

Рассмотрим треугольник A{M_3}M — один из шести треугольников, на которые разбивается треугольник ABC тремя медианами.

Его площадь

{S_{A{M_3}M}} = \displaystyle\frac{1}{2} \cdot {M_3}M \cdot AW = \displaystyle\frac{1}{2} \cdot \displaystyle\frac{1}{3}{M_3}C \cdot AW = \\\\=\displaystyle\frac{1}{3} \cdot \displaystyle\frac{1}{2}{M_3}C \cdot AW = \displaystyle\frac{1}{3}{S_{A{M_3}C}} = \displaystyle\frac{1}{3} \cdot \displaystyle\frac{S}{2} = \displaystyle\frac{S}{6}.

Аналогичные рассуждения можно провести и для пяти оставшихся треугольников.

#SPJ1

Приложения:
Похожие вопросы
Предмет: Русский язык, автор: leeeyyyi