Question

Бісектриса прямого кута прямокутного трикутника ділить гіпотенузу на частини, відношення довжин яких дорівнює 3 : 4. У якому відношенні висота ділить гіпотенузу?​

Answer 1

Ответ:

Высота делит гипотенузу в отношении $9:16$

Объяснение:

Биссектриса делит противоположную сторону в том же отношении, в котором относятся соответствующие прилегающие стороны. Значит катеты треугольника относятся как $3:4$, т. е. $a = 3x$, $b = 4x$,

$c = \sqrt {{a^2} + {b^2}} = \sqrt {{{(3x)}^2} + {{(4x)}^2}} = 5x.$

Тогда части ${c_a}$ и ${c_b}$, на которые высота разбивает гипотенузу, находят по формуле

${c_a} = \displaystyle\frac{{{a^2}}}{c},\ {c_b} = \displaystyle\frac{{{b^2}}}{c},$

а их отношение

$\displaystyle\frac{{{c_a}}}{{{c_b}}} = \displaystyle\frac{{{a^2}}}{c}:\displaystyle\frac{{{b^2}}}{c} = \displaystyle\frac{{{a^2}}}{{{b^2}}} = {\left( {\displaystyle\frac{{3x}}{{4x}}} \right)^2} = \displaystyle\frac{9}{{16}}.$