Question

Найти все пары целых чисел (задать их формулами), удовлетворяющих уравнению 5x+7y=6.

Answer 1

Ответ:

$(4 - 7m;\,\,5m - 2),\ m\in\rm{Z}$

Пошаговое объяснение:

Рассуждения могут быть такими.

Выразим из данного уравнения $x:$

$5x = 6 - 7y;\\\\x = \displaystyle\frac{{6 - 7y}}{5}.$

Выделим из получившегося выражения целую часть:

$x = \displaystyle\frac{{5 - 5y + 1 - 2y}}{5} = 1 - y + \displaystyle\frac{{1 - 2y}}{5},$

откуда понятно, что $1 - 2y$ должно делиться на 5, т. е. $1 - 2y = 5k.$

Тогда

$2y = 1 - 5k,\\\\y = \displaystyle\frac{{1 - 5k}}{2}.$

Выделим целую часть и из этого выражения:

$y = \displaystyle\frac{{ - 4k + 1 - k}}{2} = - 2k + \displaystyle\frac{{1 - k}}{2},$

откуда понятно, что $1 - k$ должно делиться на 2, т. е. $1 - k = 2m,\ k = 1 - 2m.$

Отсюда

$y = \displaystyle\frac{{1 - 5k}}{2} = \displaystyle\frac{{1 - 5(1 - 2m)}}{2} = \displaystyle\frac{{1 - 5 + 10m}}{2} = 5m - 2,$

тогда

$x = \displaystyle\frac{{6 - 7(5m - 2)}}{5} = \displaystyle\frac{{6 - 35m + 14}}{5} = \displaystyle\frac{{20 - 35m}}{5} = 4 - 7m.$

Таким образом пары $(4 - 7m;\,\,5m - 2)$ при любом целом $m$ задают решения данного уравнения.

Answer 2

Ответ:

Пошаговое объяснение:

5x +7y = 6  (  1  )   ;  5 · 4  + 7· (-2) = 6  ( 2)  ;   вычитая  из первого

уравнения  второе , получим :  5 (x-4) + 7 ( y+2) = 0  или :  

5(4-x) = 7(y+2)  ;  так  как 5   на  7  не  делится , то  (4 -x )    кратно 7  :

4 - x = 7k ⇒ x = 4 - 7k  ; 5 · 7k = 7(y+2)  ⇒ y+2 = 5k ⇒ y = 5k - 2

Ответ  :   x = 4 -7k  ;  y = 5k -2 ;  k ∈ Z