Question

Сума катетів прямокутного трикутника дорівнює 70 см, а сума медіани і
висоти, проведеної до гіпотенузи, - 49 см. Знайдіть периметр
трикутника.​

Answer 1

***

дано:

прямоугольный треугольник АСВ

CH - высота

СN - медиана

CH + CN = 79 см

АС+СВ=70 см

_____________

найти - периметр

решение:

• медиана это отрезок который соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

• медиана в прямоугольном треугольнике, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.  $m=\frac{1}{2} \cdot c$ где м - медиана, с - гипотенуза.

следовательно:

$CN = \frac{1}{2} \cdot AB$

• высота это перпендикуляр, который опущен из вершины треугольника на противоположную сторону.

• св. синуса острого угла в прям. треугольнике  =>  $h=\frac{ab}{c}$  где а и b катеты прямоугольного треугольника, с - гипотенуза

следовательно:

$CH = \frac{AC\cdot CB}{AB}$

CH + CN = 79 см - по условию,

значит:

$\frac{1}{2} \cdot AB + \frac{AC\cdot CB}{AB} = 49$  

$\frac{AB^2+2AC\cdot BC}{2AB} =49$  

$AB^2 +2\cdot AC\cdot BC= 98AB$

по теореме Пифагора:

• сумма квадратов длин катетов равна квадрату длины гипотенузы. $c^2=a^2+b^2$

следовательно:

$AB^2 = AC^2 +CB^2$

+

$AC^2+CB^2 +2AC\cdot CB=98AB$  

=>                                                                     << $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$>>

$(AC+CB)^2=98AB$

$AC+CB=70$

$= >$

$98AB=70^2$

$AB=\frac{70^2}{98} =\frac{100}{2} =50$

• периметр треугольника равен сумме длин всех его сторон. P=a+b+c,  где a, b, c - стороны

$AB = 50$

$AC + CB = 70$

=>

$P= AC+CB+AB = 70+50=120$

ответ: периметр треугольника равна 120 см.