Question

Лиза пытается вспомнить пароль от своей электронной почты. Она помнит, что это девятизначное число, причём в его записи каждая цифра, кроме первой и девятой, равна произведению соседних с ней цифр. Какое количество вариантов
придётся перебрать Лизе?
ОТВЕТ 9 НЕПРАВИЛЬНО!!!

Answer 1

Ответ:

Лиза подберет пароль с первого раза

Пошаговое объяснение:

Пусть первая цифра пароля равна $x$, а третья — $y$. Тогда по условию вторая цифра пароля равна произведению первой и третьей, то есть $xy$.

$x - xy - y - ?$

Теперь из того, что $xy$ вторая цифра, а $y$ — третья, найдем четвертую цифру. Пусть четвертая цифра равна $t$, тогда $y = xy \cdot t$, откуда

$t = \displaystyle\frac{y}{{xy}} = \displaystyle\frac{1}{x}.$

$x - xy - y - \displaystyle\frac{1}{x} - ?$

Аналогично выражаем пятую и остальные цифры.

Пусть пятая цифра равна $t$, тогда

$\displaystyle\frac{1}{x} = y \cdot t,\ t = \displaystyle\frac{1}{x}:y = \displaystyle\frac{1}{x} \cdot \displaystyle\frac{1}{y} = \displaystyle\frac{1}{{xy}}.$

$x - xy - y - \displaystyle\frac{1}{x} - \displaystyle\frac{1}{{xy}} - ?$

Пусть шестая цифра равна $t$, тогда

$\displaystyle\frac{1}{{xy}} = \displaystyle\frac{1}{x} \cdot t,\ t = \displaystyle\frac{1}{{xy}}:\displaystyle\frac{1}{x} = \displaystyle\frac{1}{{xy}} \cdot x = \displaystyle\frac{1}{y}.$

$x - xy - y - \displaystyle\frac{1}{x} - \displaystyle\frac{1}{{xy}} - \displaystyle\frac{1}{y} - ?$

Пусть седьмая цифра равна $t$, тогда

$\displaystyle\frac{1}{y} = \displaystyle\frac{1}{{xy}} \cdot t,\ t = \displaystyle\frac{1}{y}:\displaystyle\frac{1}{{xy}} = \displaystyle\frac{1}{y} \cdot xy = x.$

$x - xy - y - \displaystyle\frac{1}{x} - \displaystyle\frac{1}{{xy}} - \displaystyle\frac{1}{y} - x - ?$

Пусть восьмая цифра равна $t$, тогда

$x = \displaystyle\frac{1}{y} \cdot t,\ t = x:\displaystyle\frac{1}{y} = xy.$

$x - xy - y - \displaystyle\frac{1}{x} - \displaystyle\frac{1}{{xy}} - \displaystyle\frac{1}{y} - x - xy - ?$

Замечаем, что последовательность выражений начинает циклически повторяться, значит девятая цифра такая же, как и третья — $y$.

$x - xy - y - \displaystyle\frac{1}{x} - \displaystyle\frac{1}{{xy}} - \displaystyle\frac{1}{y} - x - xy - y$

В этой записи на каждом месте записана цифра, в т. ч. $\displaystyle\frac{1}{x},\,\,\displaystyle\frac{1}{y}$ и $\displaystyle\frac{1}{{xy}}.$ Единственная цифра, которая делит единицу — это сама единица. Значит и $x$, и $y$ равен 1.

Таким образом, пароль от почты Лизы — последовательность из девяти единиц 111111111 и это единственное девятизначное число, обладающее подобным свойством.