Question

Упростите выражение

$(\frac{3a^{-4} }{a^{-8}-10a^{-4}+25}-\frac{a^{-4} }{a^{-4}-5 } )*\frac{25-a^{-8}}{8-a^{-4} } +\frac{10a^{-4}}{a^{-4}-5 } }$
Только подробно!

Answer 1

Ответ:

При упрощении выражения мы получаем -а⁻⁴, либо же - (1/а⁴).

Пошаговое объяснение:

$\displaystyle\bigg( \frac{3a^{-4}}{a^{-8}-10a^{-4}+25}-\frac{a^{-4}}{a^{-4}-5} \bigg)\cdot \frac{25-a^{-8}}{8-a^{-4}}+\frac{10a^{-4}}{a^{-4}-5}$

Введём замену а⁻⁴ = х. Подставляем:

$\displaystyle \bigg( \frac{3x}{x^2-10x+5^2}- \frac{x}{x-5} \bigg)\cdot\frac{5^2-x^2}{8-x} +\frac{10x}{x-5}$

В знаменателе первой дроби мы видим полный квадрат (х-5)² = х² - 2*5*х + 5² (по формуле квадрата суммы (а+b)²=a²+2ab+b²). Записываем знаменатель первой дроби в виде полного квадрата и вторую дробь приводим к этому знаменателю.

$\displaystyle \bigg( \frac{3x}{(x-5)^2}- {\overset{(x-5)/}{\big{}}}\frac{x}{x-5} \bigg)\cdot\frac{5^2-x^2}{8-x} +\frac{10x}{x-5} = \frac{3x-\big(x(x-5)\big)}{(x-5)^2} \cdot \\\\\\ \cdot\frac{5^2-x^2}{8-x} +\frac{10x}{x-5} = \frac{3x-x^2+5x}{(x-5)^2} \cdot\frac{5^2-x^2}{8-x} +\frac{10x}{x-5}$

В числителе первой дроби приводим подобные слагаемые; в числителе второй дроби выносим минус за скобки.

$\displaystyle \frac{8x-x^2}{(x-5)^2} \cdot\frac{-(x^2-5^2)}{8-x} +\frac{10x}{x-5}$

Выносим х за скобки в первой дроби и сокращаем.  

$\displaystyle \frac{x~~ \bigg \slash \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!(8-x)}{(x-5)^2} \cdot\frac{-(x^2-5^2)}{\bigg \slash \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!(8-x)} +\frac{10x}{x-5}= \frac{x\cdot \big(-(x^2-5^2)\big)}{(x-5)^2} +\frac{10x}{x-5}$

Раскрываем первые скобки в числителе первой дроби и расписываем x²-5² по формуле a²-b²=(a-b)(a+b).

$\displaystyle \frac{-x\cdot~~ \bigg \slash \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!(x-5)(x+5)}{(x-5)^{\not2}} +\frac{10x}{x-5} = \frac{-x(x+5)}{x-5} +\frac{10x}{x-5}$

Записываем под общим знаменателем и раскрываем скобки.

$\displaystyle \frac{-x\cdot x+(-x)\cdot5+10x}{x-5} =\frac{-x^2-5x+10x}{x-5} =\frac{-x^2+5x}{x-5}$

Выносим (-х) в числителе дроби за скобки.

$\displaystyle \frac{-x~~ \bigg \slash \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!(x-5)}{~~ \bigg \slash \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!(x-5)} = -x$

Возвращаемся к замене  а⁻⁴ = х.

$x = a^{-4} \Longrightarrow \boxed{ -x=-a^{-4}}$