Question

Составь уравнение окружности с диаметром АВ, если:
a) A(-3; 6), B(1; -4);
б) A(-1; 5), B(4; 3).

Answer 1

Ответ:

а) ${(x + 1)^2} + {(y - 1)^2} = 29;$

б) ${\left( {x - \frac{3}{2}} \right)^2} + {(y - 4)^2} = \frac{{29}}{4}$

Объяснение:

Если точки $A({x_1};\,\,{y_1})$ и $B({x_2};\,\,{y_2})$ являются концами отрезка, то его серединой будет точка

$O\left( {\displaystyle\frac{{{x_1} + {x_2}}}{2};\,\,\displaystyle\frac{{{y_1} + {y_2}}}{2}} \right).$

Эта точка и будет являться центром окружности, а расстояние до любого из концов отрезка — радиусом.

Расстояние между точками $A({x_1};\,\,{y_1})$ и $B({x_2};\,\,{y_2})$ находим по формуле

$d = \sqrt {{{({x_2} - {x_1})}^2} + {{({y_2} - {y_1})}^2}} .$

Зная центр окружности $O({x_0};\,\,{y_0})$ и ее радиус $R$, записываем уравнение

${(x - {x_0})^2} + {(y - {y_0})^2} = {R^2}.$

а)

$O\left( {\displaystyle\frac{{ - 3 + 1}}{2};\,\,\displaystyle\frac{{6 - 4}}{2}} \right);\\\\O( - 1;\,\,1);\\\\R = AO = \sqrt {{{( - 1 - ( - 3))}^2} + {{(1 - 6)}^2}} = \sqrt {4 + 25} = \sqrt {29} ;\\\\{(x + 1)^2} + {(y - 1)^2} = 29.$

б)

$O\left( {\displaystyle\frac{{ - 1 + 4}}{2};\,\,\displaystyle\frac{{5 + 3}}{2}} \right);\\\\O\left( {\displaystyle\frac{3}{2};\,\,4} \right);\\\\R = AO = \sqrt {{{\left( {\displaystyle\frac{3}{2} - ( - 1)} \right)}^2} + {{(4 - 5)}^2}} = \displaystyle\frac{{\sqrt {29} }}{2};\\\\{\left( {x - \displaystyle\frac{3}{2}} \right)^2} + {(y - 4)^2} = \displaystyle\frac{{29}}{4}.$