Предмет: Геометрия, автор: Grut09797

У трапеції центр вписаного в неї кола віддалений від кінців більш основи на відстань 156 і 100 см. Довжина більшої основи 224 см.Знайдіть площу трапеції.

cos20093: Так как я все это набираю без чертежа, считая в уме, одновременно смотря сериал и готовя еду, обязательно все проверяйте - могут быть ошибки. Если разберетесь как следует, многие вещи будете впредь знать на много лучше, я гарантирую :)

cos20093: На случай, если имя Пифагора ничего не говорит - "Пифагорова тройка" это три целых числа, удовлетворяющих теореме Пифагора, то есть сумма квадратов двух равна квадрату третьего. 3²+4²=5²; 5²+12²=13²; 8²+15²=17²; 7²+24²=25²;20²+21²=29²; и так далее. Тройки целых, не имеющие общего делителя, называются "простыми". Из одной простой тройки можно получить сколько угодно кратных, умножая на любое целое число. Например, 6²+8²=10²;

cos20093: Ну вот например, как этим пользоваться в этой задаче. В условии есть число 156, которое легко раскладывается на сомножители, так как 156 = 12*13. Раз есть 13, стоит проверить увеличенных в 12 раз треугольник, стороны которого 5,12,13 то есть 60, 144, 156. Сразу же становится ясно, что число 60, разность 224 - 144 = 80, и заданные 100 вместе тоже образуют целочисленный треугольник, что фактически решает задачу.

cos20093: Кроме этого, тут надо еще понимать вот что. Если трапеция описанная, и центр соединить с вершинами, то из получившихся 4 треугольников 2 - прямоугольные. Почему? Да потому, что центр находится на пересечении биссектрис углов, а сумма двух односторонних углов при параллельных равна 180°, значит сумма двух половинок - 90°. Это два треугольника, гипотенузы которых - боковые стороны. Далее, если провести теперь радиусы в точки касания, то это будут высоты в этих треугольниках.

cos20093: Высота в прямоугольном треугольнике делит его на 2 подобных (между собой и самому исходному треугольнику). Поэтому, если известен катет 144 в одном треугольнике (про который вообще все известно) и соответствующий ему длины 60 в другом, то известны все стороны.

cos20093: Все эти игры с числами легко "завуалировать", просто обозначив неизвестные отрезки буквами, записав нужное количество теорем Пифагора и тупо решив их. Ответ, разумеется, будет тот же.

antonovm: Не слишком ли подробны ваши подсказки ? Постарался не повторять в решении ваши рассуждения , чтобы не быть обвинённым в плагиате

cos20093: Да какой плагиат, детская же задача

cos20093: Я тут давно продвигаю эту "игру" с Пифагоровыми числами. Это очень простой и очень полезный инструмент, и его применение всегда требует некой "смекалки", нестандартного хода мыслей.

cos20093: А все остальное в этой задаче - ну что-то вроде "сколько будет 2х2?". Найти тут оригинальное решение просто невозможно. Как ни старайтесь, вам придется соединять центр с вершинами и точками касания, а дальше - простенькие расчеты, которые можно делать 100500 способами, и все они будут по сути одно и то же.