Question

Сторони трикутника дорівнюють 13 см, 14 см і 15 см. Знайдіть висоту
трикутника, проведену до його середньої за довжиною сторони.
8 клас

Answer 1

Ответ:

12 см

Объяснение:

Стороны треугольника равны 13 см, 14 см и 15 см. Найдите высоту треугольника, проведенную к его средней по длине стороне.

⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀Решение:

Найдем площадь по формуле Герона. Но для начала нужно найти полупериметр этого треугольника , это половина от сумму всех сторон , стороны пусть будут за "а" , "b" , "c" .

$\displaystyle \large \bf p= \frac{a + b + c}{2}$

Тогда если подставить :

$\displaystyle \large p= \frac{13 + 14 + 15}{2} = \frac{42}{2 } = 21(cm)$

Теперь пора использовать формулу Герона , которая выглядит следущим образом:

$\displaystyle \large \bf S = \sqrt{p( p - a) \cdot (p - b) \cdot (p - c)}$

Тогда если подставить :

$\displaystyle \large S = \sqrt{21(21 - 13) \cdot (21 - 14) \cdot (21 - 15)} = \\ \displaystyle \large \sqrt{21 \cdot8 \cdot 7 \cdot 6} = \sqrt{168 \cdot 42} = \sqrt{7056} = 84 (cm ^{2} )$

Из другой формулы нахождения площади, которая равна половине от произведения стороны на высоту , но нужно знать , именно та сторона , на которую проведенна высота , а это у нас средняя , которая равна 14 см :

$\displaystyle \large \bf S= \frac{b \cdot h}{2}$

Подставим , тогда из этот формулы найдём высоту (h) :

$\displaystyle \large 84 = \frac{14\cdot h}{2} \\ \displaystyle \large 84 = 7\cdot h \\ \displaystyle \large h = \frac {84}{7} = \bf 12(cm)$

Answer 2

Решение.

   Воспользуемся двумя формулами площади треугольника: формулой Герона   $\bf S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$    и   $\bf S=\dfrac{1}{2}\, ah$   .

По условию  $\bf a=14\ sm\ ,\ b=13\ sm\ ,\ c=15\ sm$  .

Сторона со средней длиной - это сторона  а=14 см .

$\bf p=\dfrac{1}{2}\cdot (a+b+c)=\dfrac{1}{2}\cdot (13+14+15)=\dfrac{42}{2}=21\ (sm)\\\\p-a=21-14=7\ sm\ ,\ p=b=21-13=8\ sm\ ,\ p-c=21-15=6\ sm\\\\S=\sqrt{21\cdot 7\cdot 8\cdot 6}=\sqrt{(7\cdot 3)\cdot 7\cdot 2^3\cdot (3\cdot 2)}=\sqrt{7^2\cdot 3^2\cdot 2^4}=7\cdot 3\cdot 2^2=\\\\=84\ (sm^2)$

Из второй формулы площади выразим высоту h :   $\bf h=\dfrac{2S}{a}$  .

$\bf h=\dfrac{2\cdot 84}{14}=\dfrac{84}{7}=12\ (sm)$  

Ответ:  h=12 см .

2 способ.

АН⊥ВС .  Обозначим  СН=х , тогда  ВН=14-х ,  h=AH .

ΔАВН:  $\bf AH^2=AB^2-BH^2\ \ ,\ \ h^2=13^2-(14-x)^2$  

ΔACH:   $\bf AH^2=AC^2-CH^2\ \ ,\ \ h^2=15^2-x^2$  

 $\bf 13^2-(14-x)^2=15^2-x^2\\\\169-196+28x-x^2=225-x^2\\\\-27+28x=225\\\\28x=252\\\\x=9$

Теперь найдём высоту:   $\bf h^2=15^2-9^2=225-81=144\ \ ,\ \ h=12$  (см)