Question

ABCD - параллелограмм, AD = DH AH = 2BH AB = 12 P(ABCD)=?

Answer 1

Ответ:

P=40

Пошаговое объяснение:

Дано: ABCD-параллелограмм , AD=DH , AB=12

Найти: $P_{ABCD}$

           Решение:

AH=2BH , тогда АН>ВН в 2 раза , ΔАВН-прямоугольный , гипотенуза(АН) в 2 раза больше катета(ВН) только тогда , когда данный катет лежит против угла в 30° , значит ∠А=30° , возьмем гипотенузу(АН) за "2х" , а катет(ВН) за "х" , и составим уравнение согласно т.Пифагора.

$\large (2x)^2=(12)^2+(x)^2\\\large 4x^2=144+x^2\\\large 4x^2-x^2=144\\\large 3x^2=144\\\large x=\sqrt{48} =\bf 4\sqrt{3}$

BH=$4\sqrt{3}$ ⇒ AH=$2\cdot 4\sqrt{3}=8\sqrt{3}$

Т.к АВ||DC ,то ∠ВАН=∠АНD=30°- как накрест лежащие . Рассм. ΔADH , он- равнобедренный , т.к по условию боковые стороны равны (АD=DH) , значит углы при основании тоже равны (∠А=∠Н=30°) , сумма углов треугольника должно составлять 180° , тогда ∠D=180°-30°-30°=120° , в параллелограмме противоположные углы равны ∠DAB=∠DCB=60° и ∠ADC=∠ABC=120°.

 Мы видим , что ∠DHB=90° , т.к ∠СHB смежный с ∠DHB , а если смежные углы при сумме образуют 180° - то ∠СHB=180°-90°=90°⇒ΔBHC-прямоугольный , рассм. этот же Δ , ∠В=120°-90°=30° , НС лежит против угла в 30° , значит снова возьмем гипотенузу(ВС) за "2х" , а катет(НС) за "х" , составим уравнение согласно т.Пифагора.

$\large(2x)^2=(4\sqrt{3} )^2+x^2\\\large4x^2=48+x^2\\\large4x^2-x^2=48\\\large3x^2=48\\\large x=\sqrt{16} =\bf4$

HC=$4$ ⇒ BC=$2\cdot 4=8$

Имеем АВ=DC=12 , AD=BC=8( т.к в параллелограмме кроме противоположных углов равны ещё противоположные стороны)

Перриметр параллелограмма находится по формуле $\boxed {\bf P=2(AB+AD)}$

$\large \bf P_{ABCD}=2(12+8)=2\cdot 20=40$