Question

числа
7. Три числа утворюють геометричну
прогресію. Якщо друге число збільшити
на 2, ТО
утворюватимуть
арифметичну прогресію, а якщо після
цього збільшити останнє число на 9, то
знову утвориться геометрична прогресія.
Знайдіть три вихідні числа.

Answer 1

Ответ:

$(4; 8; 16)$ или $\[\left( {\displaystyle\frac{4}{{25}};\,\, - \displaystyle\frac{{16}}{{25}};\,\,\displaystyle\frac{{64}}{{25}}} \right)\]$

Объяснение:

Пусть три исходных числа, образующих геометрическую прогрессию — $b,$ $bq$ и $b{q^2}.$

Тогда тройка $b,$ $bq + 2$ и $b{q^2}$ будет составлять арифметическую прогрессию. Пользуясь характеристическим свойством арифметической прогрессии

${a_k} = \displaystyle\frac{{{a_{k - 1}} + {a_{k + 1}}}}{2},\,\,k \ge 2,$

запишем

$bq + 2 = \displaystyle\frac{{b + b{q^2}}}{2}.$

Тройка $b,$ $bq + 2$ и $b{q^2} + 9$ снова будет образовывать геометрическую прогрессию. Пользуясь характеристическим свойством геометрической прогрессии

$b_k^2 = {b_{k - 1}}{b_{k + 1}},\,\,k \ge 2,$

запишем

${(bq + 2)^2} = b(b{q^2} + 9).$

Получили систему двух уравнений с двумя неизвестными:

$\left\{ \begin{array}{l}bq + 2 = \displaystyle\frac{{b + b{q^2}}}{2},\\{(bq + 2)^2} = b(b{q^2} + 9).\end{array} \right.$

Преобразуем первое уравнение:

$2bq + 4 = b + b{q^2}\\\\2bq - b{q^2} = b - 4\\\\b(2q - {q^2}) = b - 4\\\\2q - {q^2} = \displaystyle\frac{{b - 4}}{b}\\\\2q - {q^2} = 1 - \displaystyle\frac{4}{b}\\\\\displaystyle\frac{4}{b} = {q^2} - 2q + 1\\\\\displaystyle\frac{4}{b} = {(q - 1)^2}\\\\b = \displaystyle\frac{4}{{{{(q - 1)}^2}}}.$

Преобразуем второе уравнение:

${b^2}{q^2} + 4bq + 4 = {b^2}{q^2} + 9b,\\\\4bq + 4 = 9b,\\\\9b - 4bq = 4,\\\\b(9 - 4q) = 4,\\\\b = \displaystyle\frac{4}{{9 - 4q}}.$

Приравняем найденные выражения для $b:$

$\displaystyle\frac{4}{{{{(q - 1)}^2}}} = \displaystyle\frac{4}{{9 - 4q}},\\\\{(q - 1)^2} = 9 - 4q,\\\\{q^2} - 2q + 1 = 9 - 4q,\\\\{q^2} + 2q - 8 = 0.$

По теореме Виета

$\left\{ \begin{array}{l}{q_1} + {q_2} = - 2,\\{q_1}{q_2} = - 8,\end{array} \right.$

откуда ${q_1} = 2,$ ${q_1} = - 4.$

Тогда

${b_1} = 4,$ ${b_2} = \displaystyle\frac{4}{{25}}.$

Получаем две тройки подходящих чисел: $(4; 8; 16)$ и $\[\left( {\displaystyle\frac{4}{{25}};\,\, - \displaystyle\frac{{16}}{{25}};\,\,\displaystyle\frac{{64}}{{25}}} \right).\]$