Question

Помогите с тригонометрическим уравнением пожалуйста

Answer 1

Ответ:

$x = {( - 1)^n}\arcsin \frac{{\sqrt 5 - 3}}{2} + \pi n, n\in {\rm Z}.$

Пошаговое объяснение:

${\sin ^4}x - \sin 2x\cos x + {\cos ^2}x + 4\sin x = 0;\\{\sin ^4}x - 2\sin x{\cos ^2}x + {\cos ^2}x + 4\sin x = 0;\\{\sin ^4}x + {\cos ^2}x(1 - 2\sin x) + 4\sin x = 0;\\{\sin ^4}x + (1 - {\sin ^2}x)(1 - 2\sin x) + 4\sin x = 0;\\{\sin ^4}x + 1 - 2\sin x - {\sin ^2}x + 2{\sin ^3}x + 4\sin x = 0;\\{\sin ^4}x + 2{\sin ^3}x - {\sin ^2}x + 2\sin x + 1 = 0.$

Поделим полученное уравнение на ${\sin ^2}x \ne 0$:

${\sin ^2}x + 2\sin x - 1 + \frac{2}{{\sin x}} + \frac{1}{{{{\sin }^2}x}} = 0;\\\left( {{{\sin }^2}x + \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}} \right) + 2\left( {\sin x + \frac{1}{{\sin x}}} \right) - 1 = 0.$

Сделаем замену $t = \sin x + \frac{1}{{\sin x}},$ тогда ${t^2} = {\sin ^2}x + 2 + \frac{1}{{{{\sin }^2}x}},$ откуда ${\sin ^2}x + \frac{1}{{{{\sin }^2}x}} = {t^2} - 2.$

Заметим, что $t$ как сумма двух взаимно обратных величин всегда по модулю не меньше 2.

${t^2} - 2 + 2t - 1 = 0;\\{t^2} + 2t - 3 = 0;\\(t + 3)(t - 1) = 0;$

$t = - 3,$  $t = 1$ (посторонний корень).

Делаем обратную замену:

$\sin x + \frac{1}{{\sin x}} = - 3;\\{\sin ^2}x + 3\sin x + 1 = 0.$

Делаем замену $y = \sin x,$ $\left| y \right| \le 1,$ ${y^2} + 3y + 1 = 0.$

Дискриминант последнего квадратного уравнения $D = 9 - 4 = 5,$ корни $y = \frac{{ - 3 \pm \sqrt 5 }}{2}.$

Значение $\frac{{ - 3 - \sqrt 5 }}{2} < - 1,$ поэтому $\sin x = \frac{{\sqrt 5 - 3}}{2},$ откуда $x = {( - 1)^n}\arcsin \frac{{\sqrt 5 - 3}}{2} + \pi n,$ $n\in {\rm Z}.$