Question

Помогите с тригонометрическим уравнением пожалуйста

Answer 1

$\displaystyle\mathsf{cos(x_{0} ) - ?}\\\displaystyle\mathsf{sinx+2cosx=1}$

$\displaystyle\mathsf{sinx+2cosx=1}$

Для удобства: $\displaystyle\mathsf{x- > \alpha .}$

Подстановка:

$\\\displaystyle\mathsf{|Formula:sin\alpha=\frac{2tg\frac{\alpha}{2} }{1+tg^2\frac{\alpha }{2} } |}\\\displaystyle\mathsf{|Formula:cos\alpha=\frac{1-tg^2\frac{\alpha }{2} }{1+tg^2\frac{\alpha }{2} } |}\\ \displaystyle\mathsf{|Zamena:\displaystyle\mathsf{u=tg\frac{\alpha }{2}}}|$

$\displaystyle\mathsf{\frac{2tg\frac{\alpha}{2} }{1+tg^2\frac{\alpha }{2} } +2*\frac{1-tg^2\frac{\alpha }{2} }{1+tg^2\frac{\alpha }{2} }=1}\\\displaystyle\mathsf{\frac{2u }{1+u^2 } +2*\frac{1-u^2 }{1+u^2} }=1}\\\displaystyle\mathsf{\frac{2u }{1+u^2 } +\frac{2-2u^2 }{1+u^2} }=1}\\\\\displaystyle\mathsf{\frac{2u+2-2u^2-1-u^2}{1+u^2}=0 }\\\displaystyle\mathsf{-3u^2+2u+1=0|*(-1)\\}\\\displaystyle\mathsf{3u^2-2u-1=0\\}\\\displaystyle\mathsf{u_{1} =-1/3.}\\\displaystyle\mathsf{u_{2} }=1.$

$\displaystyle\mathsf{\left \{ {{tg\frac{\alpha }{2}=-1/3, } \atop {tg\frac{\alpha }{2}=1}} \right. }\\\displaystyle\mathsf{\left \{ {{\alpha_{1}=-2arctg(\frac{1}{3} )+2k\pi ,} \atop \mathsf{{\alpha_{2}=\frac{\pi }{2} +2k\pi}} \right. }}$

При k=-1:

$\displaystyle\mathsf{\left \{ {{\alpha_{1}=-2arctg(\frac{1}{3} )+2*(-1)\pi ,} \atop \mathsf{{\alpha_{2}=\frac{\pi }{2} +2*(-1)\pi}} \right. }}$

$\displaystyle\mathsf{\left \{ {{\alpha_{1}=-2arctg(\frac{1}{3} )-2\pi ,} \atop \mathsf{{\alpha_{2}=-1,5\pi }} \right. }}$

Делаем вывод, что наибольший отрицательный корень: $\displaystyle\mathsf{\alpha _{1} }$

Значит,

$\displaystyle\mathsf{x_{0} =-2arctg(\frac{1}{3} )-2\pi .}$

$\displaystyle\mathsf{cos(x_{0} ) =cos(-2arctg(\frac{1}{3} )-2\pi)=\frac{4}{5} .}$

2 вариант ответа.